Toisessa ketjussa oli esillä mielenkiintoinen asetelma.
Tarkastellaan yksinkertaista, yksiulotteista, kitkatonta ja epärelativistista mekaanista värähtelijää, jota voidaan pitää mekaanisena kellolaitteena. Laite koostuu jousista (jousivakio \(k\)) ja massasta \(m\). Sisäisten osien liike on hyvin hidasta (\(< 10 \mathrm{m/s}\)), mutta kokonaisuudessaan systeemi liikkuu suurella nopeudella suhteessa havaitsijaan, painovoimakentän ulkopuolella ja laakeassa avaruudessa.
Kirjoitetaan ensin yleisiä määritelmiä. Nelivektorin indeksit ovat notaatiolla \(\mu = \{t,x,y,z\}\), ja kolmivektorin indeksit \(i = \{x,y,z\}\). Jätetään vakio \(c\) näkyviin, jotta Newtonin voiman eräät kertoimet on helpompi hahmottaa. Relativistinen voima \(f^\mu\) on nelivektori
\(\displaystyle f^\mu=\frac{dp^\mu}{d\tau}=\gamma \frac{dp^\mu}{dt}\)
missä liikemäärä \(p^\mu=(\gamma mc, \gamma m \mathbf v)\). Voima on liikemäärän muutosnopeus ominaisajan (\(\tau\)) suhteen. Määritelmiä käyttämällä \(f^\mu\) voidaan kirjoittaa komponenteilla
\(\displaystyle f^\mu = \gamma \frac{d}{dt} \left(\gamma m c,\gamma m \mathbf v \right) = (f^t,f^x,f^y,f^z).\)
Aikaderivaatta määritellään havaitsijan koordinaattiajan \(t\) suhteen eikä ominaisajan \(\tau\) suhteen. Relativistinen 3-dimensioinen voima määritellään saman kaltaisesti kuin Newtonin mekaniikassa
\(\displaystyle \mathbf F = \frac{d\mathbf p}{dt} = \frac{d\mathbf (\gamma m\mathbf v)}{dt} = \frac{d}{dt}\gamma(mv^x,mv^y,mv^z) = (F^x, F^y, F^z)\).
Vektorin \(\mathbf F\) komponentit näkyvät nelivoiman \(f^\mu\) komponenteissa seuraavasti
\(
\begin{align}
f^\mu &= \gamma \frac{d}{dt} \left(\gamma m c,\gamma m \mathbf v \right)\\\\
&=\left(\gamma \frac{d(\gamma m c)}{dt}, \gamma \frac{d(\gamma m \mathbf v)}{dt} \right) \\\\
& =\left(\gamma\frac{\mathbf F \cdot \mathbf v}{c}, \gamma \mathbf F \right)
\end{align}\)
missä \(\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}\). Nelivoiman ja kolmivoiman välinen riippuvuus näkyy komponenteissa \(\displaystyle f^t = \gamma \frac{d(\gamma m c)}{dt} = \gamma\frac{\mathbf F \cdot \mathbf v}{c}\) ja \(f^i = \gamma F^i\).
Aikakomponentin lauseke on mielenkiintoinen, sillä se sisältää klassisen mekaniikan tehon \( P=\mathbf F \cdot \mathbf v\). Avaruuskomponentit ovat \(\gamma\)-kertoimella korjatut Newtonin voiman komponentit, ja pienillä nopeuksilla \(f^\mu\approx\left(\ (\mathbf F \cdot \mathbf v)/c\ ,\ \mathbf F\ \right)\).
Tuo kontravariantti vektori \(f^\mu\) kuvaa voimaa, joka kohdistuu nopeudella \(\mathbf v\) liikkuvaan kappaleeseen. Muunnos koordinaatistoon \(K'\) tehdään Lorentzmuunnoksena \(f'^\mu = \Lambda^\mu{_\nu}f^\mu\), missä muunnoksen nopeus ei ole \( \mathbf v\) vaan \(\mathbf u\), joka on siis \(K'\):n nopeus \(K\):n suhteen.
Esimerkkinä koordinaatisto \(K(t,x,y)\), ja voima \(f=(f^t,f^x,f^y)\). Koordinaatisto \(K'(t',x',y')\) liikkuu nopeudella \(\mathbf u=(u,0).\) Muunnetut komponentit ovat
\(\begin{align}
f'^t &=\gamma_u(f^t-\beta_u f^x) \\
f'^x &=\gamma_u(f^x-\beta_u f^t) \\
f'^y &=f^y
\end{align}\)
missä \(\gamma_u = 1/\sqrt{1-u^2/c^2}\) ja \(\beta_u=u/c\). Kun edelliset lasketaan auki käyttämällä avaruudellisia komponentteja \(F^x\) ja \(F^y\), niin saadaan
\(\begin{align}
f'^t &= \gamma_u \gamma_v \frac{\mathbf F \cdot \mathbf v-uF^x}{c}\\\\
f'^x &=\gamma_u \gamma_v\left(F^x-\frac{u(\mathbf F \cdot \mathbf v)}{c^2}\right)\\\\
f'^y &=\gamma_u F^y
\end{align}\)
Vektorin \(f\) aika- ja avaruuskomponentit miksautuvat muunnoksessa. Aika-komponentin termi \(\mathbf F \cdot \mathbf v\) johtaa siihen, että \(f'^x\) saa lisäyksen, joka on peräisin y-suuntaisesta voimasta. Tuo edellinen muunnos voidaan kirjoittaa myös Newtonin voiman \(\mathbf F = (F^x,F^y)\) komponenteille seuraavasti
\(\begin{align}
F'^x &= \frac{F^x-(u/c^2)(\mathbf F\cdot\mathbf v)}{1-uv_x/c^2}\\\\
F'^y &= \frac{F^y}{\gamma_u(1-uv_x/c^2)}
\end{align}\)
missä termi \(1-uv_x/c^2\) peräisin riippuvuudesta \(F'^i = f'^i/\gamma_{v'}\). Tarkatellaan alussa mainittua harmonista värähtelijää. Lepokoordinaatistossa \(K(t,x,y)\) laite värähtelee y-akselin suunnassa siten, että jousiin kiinnitetyn massan nopeus on \(\mathbf v=(v_x,v_y)=(0,v_y)\), ja jousivoima on \(\mathbf F = (0,F_y)=(0,-ky)\). Värähtelyn jaksonaika on \(T = 2\pi \sqrt{m/k}\).
Asetetaan laite liikkumaan x-akselin suunnassa nopeudella \(\mathbf u = (u,0).\) Kohdistetaan jousivoimaan muunnos, ja lasketaan komponentit (lepokehyksessä \(v^x=0\))
\(\begin{align}
F'^x &= -(u/c^2)(\mathbf F \cdot \mathbf v) = -(u/c^2)F^y v^y\\\\
F'^y &= \frac{F^y}{\gamma_u(1-uv_x/c^2)} = \frac{F^y}{\gamma_u}
\end{align}\)
Komponentissa \(F'^x\) näkyy mainittu relativistinen ilmiö: värähtelijään kohdistuu x-suuntainen voima, jota ei esiinny Galilein muunnoksessa. Tuo \(F'^x\) vaihtaa suuntaa riippuen massakappaleen liikesuunnasta y-akselilla (\(+v_y\) tai \(-v_y\)), ja \(F'^x=0\), kun massakappale vaihtaa suuntaa (kohdissa \(v_y = 0\)).
Tässä on kuitenkin hyvä huomata, että \(F'^x\) ja kiihtyvyys \(a'^x\) ovat koordinaatistoriippuvaisia suureita. Massaan kohdistuva ominaisvoima (proper force) ja ominaiskiihtyvyys (proper acceleration) vaikuttavat vain y-suunnassa.
Hitaan värähtelijän tapauksessa \( F'^x\) voidaan jättää huomiomatta, sillä värähtelynopeus \(v_y \ll c\), ja kerroin \(v_y/c^2\) on merkityksettömän pieni. Tilanne muuttuu oleellisesti, kun värähtelijän sisäinen liike on relativistista (\(v_y \sim c\)).
Mutta hitaan värähtelijän y-akselin suuntainen dynamiikka on helposti nähtävissä. \(F'^y\) on arvoltaan pienempi kuin lepokoordinaatiston \(F^y\). Tämä tarkoittaa sitä, että jousivakio \(k' = k/\gamma_u\) on pienempi kuin \(k\), ja värähtely hidastuu. Kulmataajuudeksi saadaan \(\omega' = (1/\gamma_u) \sqrt{k/m}\), ja jaksonajaksi \(T' = 2\pi/\omega' = \gamma_u T\), mistä nähdään tuttu aikadilataatio.
Sama tarkastelu voidaan tehdä myös siten, että värähtelyakseli ja laitteen liikesuunta ovat yhdensuuntaiset (x-akselin suunta). Tarkastelu on työläämpi, sillä massakappaleen nopeusvektori \(\dot x(t)\) ei ole vakio, ja se summautuu koordinaatison \(K'\) nopeuteen \(u\).
Harmoonisen värähtelijän taajuus ei oleQS kirjoitti: ↑15.10.2025, 19:51
Mutta hitaan värähtelijän y-akselin suuntainen dynamiikka on helposti nähtävissä. \(F'^y\) on arvoltaan pienempi kuin lepokoordinaatiston \(F^y\). Tämä tarkoittaa sitä, että jousivakio \(k' = k/\gamma_u\) on pienempi kuin \(k\), ja värähtely hidastuu. Kulmataajuudeksi saadaan \(\omega' = (1/\gamma_u) \sqrt{k/m}\), ja jaksonajaksi \(T' = 2\pi/\omega' = \gamma_u T\), mistä nähdään tuttu aikadilataatio.
\(f = (1/\gamma_u) \sqrt{k/m}\)
vaan
\(f = \sqrt{k/m}\)
sitten taas relativisisen harmoonisen värähtekijän taajuuden on kai oltava
\( f= \sqrt{ (k/\gamma_u) / (m*\gamma_u) }\)
Eli siis sama vanha harmoonisen värähtekijän taajuuden kaava, jossa on huomioitu jousen jäykkyys ja massakappaleen massa.
Lasketaan tämä nyt tarkasti. Lepokehyksessä K jousivoima \(F^y = -ky\) ja liikeyhtälö \(m\ddot y + ky = 0\). Tästä saadaan \(f = \sqrt{\frac{k}{m}}\) ja \(T = \frac{2\pi}{f} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\).Aadolf kirjoitti: ↑15.10.2025, 21:25Harmoonisen värähtelijän taajuus ei oleQS kirjoitti: ↑15.10.2025, 19:51
Mutta hitaan värähtelijän y-akselin suuntainen dynamiikka on helposti nähtävissä. \(F'^y\) on arvoltaan pienempi kuin lepokoordinaatiston \(F^y\). Tämä tarkoittaa sitä, että jousivakio \(k' = k/\gamma_u\) on pienempi kuin \(k\), ja värähtely hidastuu. Kulmataajuudeksi saadaan \(\omega' = (1/\gamma_u) \sqrt{k/m}\), ja jaksonajaksi \(T' = 2\pi/\omega' = \gamma_u T\), mistä nähdään tuttu aikadilataatio.
\(f = (1/\gamma_u) \sqrt{k/m}\)
vaan
\(f = \sqrt{k/m}\)
sitten taas relativisisen harmoonisen värähtekijän taajuuden on kai oltava
\( f= \sqrt{ (k/\gamma_u) / (m*\gamma_u) }\)
Eli siis sama vanha harmoonisen värähtekijän taajuuden kaava, jossa on huomioitu jousen jäykkyys ja massakappaleen massa.
Asetetaan systeemi liikkuvaan kehykseen K', jonka nopeus K:n suhteen on u. Liikkuvan värähtelijän jousivoima \(F'^y = \frac{F^y}{\gamma_u} = -\frac{k}{\gamma_u}y = -k'y\), missä liikkuvan värähtelijän jousivakio \(k'=\frac{k}{\gamma_u}\), kun se lausutaan kehyksen K vakiolla. Tuo k' on pienentynyt, mutta sitä ei itse asiassa voi suoraan käyttää, jos halutaan laskea liikkuvan värähtelijän käyttäytyminen K:sta tarkasteltuna.
Liikeyhtälö kehyksen K'(t',x',y') koordinaateilla on sama kuin K:ssa. Tuo K' on liikkuva inertiaali, jonka origossa systeemi pysyy koko ajan, ja jousivakio on sama k
$$\require{physics} \displaystyle m \dv[2]{y'}{t'}+ky'=0 \tag{1}$$
Kun K tarkastelee liikkuvaa systeemä, niin K kirjoittaa systeemin liikeyhtälön käyttämällä oman kehyksensä ajan differentiaalia \(dt = \gamma_u dt'\) ja oman kehyksensä y-koordinaattia. Liikeyhtälön derivaatat voidaan laskea, kun tiedetään, että y' = y (pituuskontraktiota y-suunnassa ei ole). Ensimmäinen aikaderivaatta on
\(\displaystyle \dv {y'}{t'} = \dv {t}{t'} \dv {y}{t} = \gamma_u \dv {y}{t} \)
jota käyttämällä saadaan toinen aikaderivaatta
\(\displaystyle \dv[2]{y'}{t'}=\dv{}{t'}\left( \gamma_u \dv {y}{t} \right)= \gamma_u \dv{}{t}\left( \gamma_u \dv {y}{t} \right) = \gamma_u^2\ \dv[2]{y}{t}\)
Nämä sijoitetaan K':n liikeyhtälöön (1), johon voidaan sijoittaa myös y'=y (y-koordinaatti ei muunnu)
$$\require{physics} \displaystyle m \gamma_u^2\ \dv[2]{y}{t}+ky=0$$
tai jakamalla puolittain \(\gamma\)-lausekkeella
$$\require{physics} \displaystyle m \dv[2]{y}{t}+\frac{k}{\gamma_u^2}y=0$$
Tämä on liikeyhtälö, jonka K kirjoittaa omilla koordinaateillaan tuolle K':ssa liikkuvalle värähtelijälle. Liikeyhtälön ratkaisusta saadaan \(f = \frac{1}{\gamma_u}\sqrt{\frac{k}{m}}\) ja \(T = \frac{1}{f} = \gamma_u \sqrt{\frac{m}{k}}\). Nämä ovat siis K':ssa liikkuvan värähtelijän f ja T, jotka laskettu kehyksessä K. Liikkuva värähtelijä hidastuu.
QS kirjoitti: ↑15.10.2025, 19:51Komponentissa
𝐹′𝑥
näkyy mainittu relativistinen ilmiö: värähtelijään kohdistuu x-suuntainen voima, jota ei esiinny Galilein muunnoksessa. Tuo
𝐹′𝑥
vaihtaa suuntaa riippuen massakappaleen liikesuunnasta y-akselilla (
+𝑣𝑦
tai
−𝑣𝑦
), ja
𝐹′𝑥 =0
, kun massakappale vaihtaa suuntaa (kohdissa
𝑣𝑦 =0
).
Kun y-suunnassa värähtelevän värähtelijän massakappaleeseen kohdistuu em. x-suuntainen voima, niin ko. värähtelijän jouseen kohdistuu vastakkais-suuntainen voima. Siispä värähtelijään kohdistuva x-suuntainen nettovoima on nolla.
En ymmärtänyt tätä argumenttia, joka liittyi käsittääkseni komponenttiin \(F'^x\). Tuota logiikkaa seuraamalla myös kappaleeseen kohdistuva y-suuntainen (koordinaatisto-)nettovoima \(F'^y\) olisi nolla.
Kun kappaleeseen kiinnitetään kiihtyvä koordinaatisto, ja tarkastellaan sen koordinaatti-voimavektoria, niin se on tietysti aina nolla, sillä kappale pysyy siihen kiinnitetyn kiihtyvän koordinaatiston origossa. Mutta tämä koordinaatistovalinta on eri tarina.
QS kirjoitti: ↑16.10.2025, 10:32En ymmärtänyt tätä argumenttia, joka liittyi käsittääkseni komponenttiin \(F'^x\). Tuota logiikkaa seuraamalla myös kappaleeseen kohdistuva y-suuntainen (koordinaatisto-)nettovoima \(F'^y\) olisi nolla.
Kun kappaleeseen kiinnitetään kiihtyvä koordinaatisto, ja tarkastellaan sen koordinaatti-voimavektoria, niin se on tietysti aina nolla, sillä kappale pysyy siihen kiinnitetyn kiihtyvän koordinaatiston origossa. Mutta tämä koordinaatistovalinta on eri tarina.
Olen aika varma että nettovoima on nolla kaikkiin suuntiin laitteessa joka liikkuu tyhjiössä. Paitsi jos laite on raketti. Newtonin kolmas laki kertoo meille tämän.
Arvelen että x-suuntaisessa voimassa on kyse tämmöisestä jutusta:
Jos astronautti jonka liikemäärä on biljoona Ns syö perunalastun jonka liikemaarä on miljoona Ns, niin astronautin liikemäärä lisääntyy miljonalla newton sekunnilla. Jos syöminen kesti tuhat sekuntia niin keskimääräinen voima oli tuhat newtonia. Ja perunalastupussiin kohdistui vastakkainen voima. Siis kun kerran voiman määritelmä on liikemäärän muutos / aika.
Jos kappale jonka liikemäärä on biljoona Ns saa jouselta energian jonka liikemaarä on miljoona Ns, niin kappaleen liikemäärä lisääntyy miljonalla newton sekunnilla. Jos energian siirtyminen kesti tuhat sekuntia niin keskimääräinen voima oli tuhat newtonia. Ja jouseen kohdistui vastakkainen voima.
Tässä tarvitaan tarkkuutta, sillä absoluuttinen itseiskiihtyvyys on invariantti suure kaikissa koordinaatistoissa, myös mukana kiihtyvässä. "Koordinaatti-voimavektori" on oudohko ilmaus - tarkempi on jako fysikaalisiin ja näennäisiin voimiin/kiihtyvyyksiin.
Fysikaalinen kiihtyvyys ei ole pohjimmiltaan matkan 2. aikaderivaatta vaan pohjautuu fysikaalisen painegradientin kovektoriin, kovarianttina derivaattana... (pahoittelen, etten jaksa nyt poistaa alle jäsentelyyn generoitunutta kaikkea gpt-diibadaabaa)
Tarkennus koordinaateista, voimista ja kiihtyvyydestä
Jos kiinnitetään kiihtyvään kappaleeseen mukana kiihtyvä koordinaatisto, se voi pysyä koko ajan tämän kehyksen origossa, jolloin koordinaattikiihtyvyys \(\ddot{\mathbf{r}}'\) on nolla. Tästä ei kuitenkaan seuraa, että fysikaalinen voimavektori olisi nolla. Epäinertiaalikehyksessä liikelakiin ilmestyy näennäisvoimia, ja yhtälö saa muodon
\(
m\,\ddot{\mathbf{r}}' \;=\; \mathbf{F}_{\mathrm{reaali}}
\;-\; m\,\mathbf{A}(t)
\;-\; 2m\,\boldsymbol{\Omega}\times \dot{\mathbf{r}}'
\;-\; m\,\boldsymbol{\Omega}\times\!\big(\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}'\big)
\;-\; m\,\dot{\boldsymbol{\Omega}}\times\mathbf{r}'.
\)
Tässä \(\mathbf{A}(t)\) on kehyksen translatorinen kiihtyvyys ja \(\boldsymbol{\Omega}\) sen kulmanopeus. Jos kappale on kehyksen suhteen levossa (\(\dot{\mathbf{r}}'=0\), \(\ddot{\mathbf{r}}'=0\)), vasen puoli on nolla, mutta tällöin reaalivoimat vain tasapainottuvat näennäisvoimien kanssa – fysikaalisten voimien katoamista tästä ei voi päätellä.
On myös hyvä täsmentää, mitä tarkoitetaan ”absoluuttisella” tai koordinaattiriippumattomalla kiihtyvyydellä. Koordinaattikiihtyvyys (\(\ddot{\mathbf{r}}\)) ei ole invariantti yleisesti (se muuttuu epäinertiaalisiin tai kurvilineaarikoordinaatteihin siirryttäessä). Itseiskiihtyvyys (proper acceleration) sen sijaan tarkoittaa arvoa, jonka ideaalinen kiihtyvyysanturi mittaa kappaleessa. Se on fysikaalinen, koordinaattivalinnasta riippumaton suure: raketin ”tuntuma” kiihtymiseen on sama riippumatta siitä, kuvataanko liikettä inertiaalikehyksessä vai raketin mukana kiihtyvässä kehyksessä. (Yleistetysti: relativistisessa muodossa itseiskiihtyvyys on nelikiihtyvyyden normi.)
Geometrinen tarkennus (miksi ”gradientti on kovektori”):
* Kiihtyvyys itsessään on vektori. Koordinaattiriippumaton tapa kirjoittaa se on 2. kovariantti aikaderivaatta:
\(
a^{i} \;=\; \frac{D^{2}x^{i}}{Dt^{2}}
\;=\; \ddot{x}^{i} + \Gamma^{i}{}_{jk}\,\dot{x}^{j}\dot{x}^{k},
\)
missä \(\Gamma^{i}{}_{jk}\) ovat Christoffelin symbolit (tarvitaan kurvilineaareissa koordinaateissa tai luontaisesti kaarevassa fysikaalisessa geometriassa).
* Jos voima on potentiaaliperäinen, sen komponentit ovat gradientin kovektori:
\(
F_{i} \;=\; -\,\partial_{i} V.
\)
* Koska gradientti on 1‑muoto (kovektori), kiihtyvyysvektori saadaan nostamalla indeksi metrillä:
\(
a^{i} \;=\; \frac{1}{m}\,g^{ij} F_{j}.
\)
Karteesioissa (tasomatriisi \(g^{ij}=\delta^{ij}\)) tämä typistyy tuttuun \(\mathbf{a} = -\,\nabla V/m\); yleisissä koordinaateissa kovarianttisuus on olennaista.
Tiivistelmä: Kappaleen pitäminen kiihtyvän kehyksen origossa nollaa vain koordinaattikiihtyvyyden (\(\ddot{\mathbf{r}}'\)); se ei nollaa fysikaalisia voimia eikä gradientin voimakkuuden arvoa. Invariantti, kaikille havaitsijoille sama suure on anturilla mitattava itseiskiihtyvyys. ”Gradientti on kovektori” viittaa siihen, että potentiaaliperäiset voimat ovat gradientteja (1‑muotoja), joista kiihtyvyysvektori muodostetaan metrisen komponenttikäsittelyn avulla.
Hienorakennevakio vapausasteista: (1⁰+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹
Niin. Juuri tämän takia kirjoitin edellä koordinaatisto-voimavektori.
Toivottavasti replikoinnin myötä asia kävi selväksi kaikille ketjun lukijoille.QS kirjoitti: ↑16.10.2025, 14:58Niin. Juuri tämän takia kirjoitin edellä koordinaatisto-voimavektori.
Hienorakennevakio vapausasteista: (1⁰+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹
Jos värähtelylaitetta tarkastellaan kokonaisuutena, niin systeemin massakeskipiste etenee tasaisella suorviivaisella liikeradalla, kun sitä tarkastellaan inertiaalikehyksestä K, ja laitteeseen ei vaikuta ulkoisia voimia. Kyseessä on massakeskipisteen säilyminen. Massakeskipisteen nettovoima on nolla, ja systeemin liikemäärä säilyy.Aadolf kirjoitti: ↑16.10.2025, 11:47QS kirjoitti: ↑16.10.2025, 10:32En ymmärtänyt tätä argumenttia, joka liittyi käsittääkseni komponenttiin \(F'^x\). Tuota logiikkaa seuraamalla myös kappaleeseen kohdistuva y-suuntainen (koordinaatisto-)nettovoima \(F'^y\) olisi nolla.
Kun kappaleeseen kiinnitetään kiihtyvä koordinaatisto, ja tarkastellaan sen koordinaatti-voimavektoria, niin se on tietysti aina nolla, sillä kappale pysyy siihen kiinnitetyn kiihtyvän koordinaatiston origossa. Mutta tämä koordinaatistovalinta on eri tarina.
Olen aika varma että nettovoima on nolla kaikkiin suuntiin laitteessa joka liikkuu tyhjiössä. Paitsi jos laite on raketti. Newtonin kolmas laki kertoo meille tämän.
Mutta yksittäisten osien nettovoima ei ole nolla, ja yksittäisten osien liikemäärä ei säily. Voima määritellään siten, että se on liikemäärän muutosnopeus per aikayksikkö. Jos värähtelijän massakappaleen liikemäärä ei muuttuisi, niin mitään värähtelijää ei olisi.
Asetelmassa oli toki implisiittinen oletus, että laitteen rungon massa on hyvin suuri verrattuna jousien ja värähtelykappaleen massaan. Jos ei olisi, niin myös runko värähtelisi y-suunnassa, jotta massakeskipisteen säilyminen toteutuisi. Rungon suuren massa oletus takaa sen, että rungon värähtelyä ei tarvitse huomioida. Jos pitäisi huomioida, niin olisi erittäin epätriviaali lasku.