Matematiikka on huijausta. Lukuja ei ole.

[Keckman]

Mikä on joukon \(\mathbb N\) koko sinun mielestäsi?

Mielivaltaisen suuri, mutta äärellinen. Ei ylärajaa suuruudelle.

Mitä tarkoitat käsitteellä äärellinen, kun kuitenkin sanot, että alkioiden lukumäärllä ei ole ylärajaa?

Tarkoitan äärellisellä ihan sitä samaa mitä nykymatemaatikotkin.

Matematiikassa äärellisellä (luku-)joukolla on suurin alkio. Sinä määrittelit "äärellisen" joukon kooksi "ei ylärajaa", joten suurinta alkiota ei ole, ja sen seurauksena sinun "äärellinen" ei ole sama kuin matematiikassa.

Mitä sinä tarkoitat käsitteellä "äärellinen" ?

Ihan sitä samaa mitä nykymatemaatikotkin. Kun sanon, että luonnollisten lukujen joukon alkioiden lukumäärällä ei ole ylärajaa, vaan että se on mielivaltaisen suuri äärellinen, niin ei siitä seuraa, että se on ääretön. Vaan se on mikä tahansa luku n, mikä kuuluu N:ään.

Matematiikassa äärellisen joukon S koko on esimerkiksi \(|S|=10^{234235}\). Sinulla "äärellinen" tarkoittaa jotain, jolla ei ole ylärajaa, eli se on rajoittamaton. Rajoittamaton ei ole äärellinen.

Sinun "äärellinen" on siis jotain muuta kuin matematiikassa?

Puhut nyt äärellisestä kai kahdessa eri syntaksissa. Puhut äärellisestä luvusta kenties ja äärellisestä joukosta? Kun sanon, että luonnollisten lukujen joukko on äärellinen ilman ylärajaa, niin tarkoitan, että aina voidaan valita suurempi joukko tarpeen tullen, mutta sen alkioiden määrä on silti ihan tavallinen jokin äärellinen luonnollinen luku, joka toisessa tarkastelutilanteessa voidaan valita suuremmaksi. Ei ole ylärajaa.

Miten se on niin vaikeaa sinun käsittää: MIELIVALTAISEN SUURI, MUTTA AINA ÄÄRELLINEN EI KOSKAAN ÄÄRETÖN. Luonnollisten joukon alkioiden lukumäärä on mielivaltaisen suuri, mutta aina n, joka kuuluu N:ään.

[QS]

Mielivaltaisen suuri, mutta äärellinen. Ei ylärajaa suuruudelle.

Mitä tarkoitat käsitteellä äärellinen, kun kuitenkin sanot, että alkioiden lukumäärllä ei ole ylärajaa?

Tarkoitan äärellisellä ihan sitä samaa mitä nykymatemaatikotkin.

Matematiikassa äärellisellä (luku-)joukolla on suurin alkio. Sinä määrittelit "äärellisen" joukon kooksi "ei ylärajaa", joten suurinta alkiota ei ole, ja sen seurauksena sinun "äärellinen" ei ole sama kuin matematiikassa.

Mitä sinä tarkoitat käsitteellä "äärellinen" ?

Ihan sitä samaa mitä nykymatemaatikotkin. Kun sanon, että luonnollisten lukujen joukon alkioiden lukumäärällä ei ole ylärajaa, vaan että se on mielivaltaisen suuri äärellinen, niin ei siitä seuraa, että se on ääretön. Vaan se on mikä tahansa luku n, mikä kuuluu N:ään.

Matematiikassa äärellisen joukon S koko on esimerkiksi \(|S|=10^{234235}\). Sinulla "äärellinen" tarkoittaa jotain, jolla ei ole ylärajaa, eli se on rajoittamaton. Rajoittamaton ei ole äärellinen.

Sinun "äärellinen" on siis jotain muuta kuin matematiikassa?

Puhut nyt äärellisestä kai kahdessa eri syntaksissa. Puhut äärellisestä luvusta kenties ja äärellisestä joukosta? Kun sanon, että luonnollisten lukujen joukko on äärellinen ilman ylärajaa, niin tarkoitan, että aina voidaan valita suurempi joukko tarpeen tullen, mutta sen alkioiden määrä on silti ihan tavallinen jokin äärellinen luonnollinen luku, joka toisessa tarkastelutilanteessa voidaan valita suuremmaksi. Ei ole ylärajaa.

Miten se on niin vaikeaa sinun käsittää: MIELIVALTAISEN SUURI, MUTTA AINA ÄÄRELLINEN EI KOSKAAN ÄÄRETÖN. Luonnollisten joukon alkioiden lukumäärä on mielivaltaisen suuri, mutta aina n, joka kuuluu N:ään.

Siispä matematiikan äärellinen ja sinun ”äärellinen” ovat eri käsitteitä. Hyvä. Mulla ei muuta kysyttävää.

[Abezethibou]

Meniköhän se niin että äärellisissä joukoissa aito osajoukko ei voi olla bijektiivinen koko joukon kanssa joka on Dedekindin määritelmä äärettömyydelle. Tätä voisi käyttää todistukseen, mutta olkoon nyt.

[Keckman]

Meniköhän se niin että äärellisissä joukoissa aito osajoukko ei voi olla bijektiivinen koko joukon kanssa joka on Dedekindin määritelmä äärettömyydelle. Tätä voisi käyttää todistukseen, mutta olkoon nyt.

Todistukseen mihin? Minkä todistukseen? Äärettömän joukon käsite ja aktuaalisen äärettömyyden olettaminen tosiolevaiseksi johtaa juuri tuollaisiin järjettömyyksiin, kuin että on joukkoja, joiden aito osajoukko on yhtä mahtava kuin joukko itse. Aikaisemminhan, Galilei ei hyväksynyt äärettömiä joukkoja juuri sen takia, että niiden hyväksyminen johtaa siihen, että parillisia lukuja on "yhtä paljon" kuin kaikkia lukuja. Sitten tämä järjettömyys otettiin ja hyväksyttiin äärettömän joukon määritelmäksi. Galilei oli viisaampi kuin Cantor.

[Tauko]

Keckman,
"MIELIVALTAISEN SUURI, MUTTA AINA ÄÄRELLINEN EI KOSKAAN ÄÄRETÖN. Luonnollisten joukon alkioiden lukumäärä on mielivaltaisen suuri, mutta aina n, joka kuuluu N:ään."

- Yritätkö sanoa, että on olemassa suurin äärellinen luku?
Ja
- rajoitetulla avoimella välillä ]0,1[ olisi olemassa suurin luku?

[Keckman]

Keckman,
"MIELIVALTAISEN SUURI, MUTTA AINA ÄÄRELLINEN EI KOSKAAN ÄÄRETÖN. Luonnollisten joukon alkioiden lukumäärä on mielivaltaisen suuri, mutta aina n, joka kuuluu N:ään."

- Yritätkö sanoa, että on olemassa suurin äärellinen luku?
Ja
- rajoitetulla avoimella välillä ]0,1[ olisi olemassa suurin luku?

En yritä sanoa, että olisi olemassa suurinta lukua luonnollista. Voidaan valita tarpeen vaatiessa miten suuri luku tahansa. Ja samalla tavalla tilanteesta riippuen, voidaan joukon olion N alkioiden määrä jossain tarkastelussa valita mielivaltaisen suureksi.

Rajoitetulla välillä ]0,1[ voidaan valita luku mielivaltaisen läheltä lukua 1, kuitenkin luku x<1. Aivan samoin luonnollisten lukujen joukon alkioiden määrä voidaan valita mielivaltaisen suureksi, mutta ei äärettömäksi.

Teidän turvallisuutta hamuavat mielenne pelkäävät tilannetta, että ei olisikaan fixattua suurinta lukua. Mielenne on niin rajoittunut ja aivopesty: alkioiden määrä on joko fixattu äärellinen tai ääretön, ja te ette näe mahdollisuutta, että se voisi olla mielivaltaisen suuri siten, että se voidaan valita kussakin tilanteessa vaikka kuinka suureksi, mutta ei äärettömäksi.

Luonnollisten lukujen joukon alkioiden lukumääräksi voidaan valita mikä tahansa luonnollinen luku, vaikka kuinka suuri. Mutta se on aina luonnollinen luku ja äärellinen.

[Tauko]

Keckman:
'Luonnollisten lukujen joukon alkioiden lukumääräksi voidaan valita mikä tahansa luonnollinen luku, vaikka kuinka suuri. Mutta se on aina luonnollinen luku ja äärellinen'

- Voidaan valita luku, mutta ei se ole suurin luku. Äärellinen kyllä, mutta ei suurin - semmoista ei ole.

[Keckman]

Keckman:
'Luonnollisten lukujen joukon alkioiden lukumääräksi voidaan valita mikä tahansa luonnollinen luku, vaikka kuinka suuri. Mutta se on aina luonnollinen luku ja äärellinen'

- Voidaan valita luku, mutta ei se ole suurin luku. Äärellinen kyllä, mutta ei suurin - semmoista ei ole.

Ei tietenkään ole olemassa "suurinta mahdollista lukua" yleisesti, mutta jokaisessa konkreettisesti muodostetussa joukossa on aina suurin luku.

Se, että voimme aina lisätä vielä yhden luvun, ei tee joukosta ääretöntä — se vain tarkoittaa, että prosessi voidaan jatkaa mielivaltaisen pitkälle.

Matematiikan “aktuaalinen äärettömyys” on pelkkä mielensisäinen konstruktiivinen idea: vain kuvitteellinen äärettömyys voidaan ajatella kokonaisuutena, ei koskaan muodostaa.

Kun Cantor olettaa äärettömän listan olemassaolon ja rakentaa siitä puuttuvan luvun, hän jo käyttää lähtökohtana jotakin, mitä ei voida koskaan konkreettisesti muodostaa — vain ajatella.

[Eusa]

Keckman:
'Luonnollisten lukujen joukon alkioiden lukumääräksi voidaan valita mikä tahansa luonnollinen luku, vaikka kuinka suuri. Mutta se on aina luonnollinen luku ja äärellinen'

- Voidaan valita luku, mutta ei se ole suurin luku. Äärellinen kyllä, mutta ei suurin - semmoista ei ole.

Ei tietenkään ole olemassa "suurinta mahdollista lukua" yleisesti, mutta jokaisessa konkreettisesti muodostetussa joukossa on aina suurin luku.

Se, että voimme aina lisätä vielä yhden luvun, ei tee joukosta ääretöntä — se vain tarkoittaa, että prosessi voidaan jatkaa mielivaltaisen pitkälle.

Matematiikan “aktuaalinen äärettömyys” on pelkkä mielensisäinen konstruktiivinen idea: vain kuvitteellinen äärettömyys voidaan ajatella kokonaisuutena, ei koskaan muodostaa.

Kun Cantor olettaa äärettömän listan olemassaolon ja rakentaa siitä puuttuvan luvun, hän jo käyttää lähtökohtana jotakin, mitä ei voida koskaan konkreettisesti muodostaa — vain ajatella.

Mikä valtava käsitteellinen ero sinulla on "konkreettisen" vs ajattelulla muodostetun lähtökohdan kesken? Eikö riitä, että huomaa vaikkapa konkreettisen molekyylin ja ajattelee kuinka niitä voisi olla mielivaltaisen suuri joukko, äärettömiin asti numeroituva prosessi?

[Eusa]

No jo loppui keskustelu taas kuin seinään. Eikö nyt vielä jotain vasta-argumenttia tai käsiteväärinymmärrystä saataisi kehiin?