Samoin kuin kovektori nimetään erilleen kontravariantista vektorista, voisi muut muuntavat matriisit nimetä <kuvaus>matriisi erilleen (1,1)-matriisista.QS kirjoitti: ↑19.12.2025, 18:45Noin voi ajatella. Skalaari on (0,0)-tensori, vektori on (1,0)-tensori, ja tensorit ovat yleisesti (m,n)-tensoreita.
Vektori \(v \in V\) voidaan kirjoittaa \(v = v^\mu e_\mu\), kun käytetään vektoriavaruuden \(V\) kantavektoreita \(\{e_\mu\}\). Kovektori \(u \in V^*\) voidaan kirjoittaa duaaliavaruuden kantavektoreilla \(u = u_\mu e^\mu\).
Nyt vektorin \(v\) komponentit voidaan esittää 4x1-matriisina \(v = [a,b,c,d]^T\), joka on pystyvektori. Kovektorin \(u\) komponentit voidaan esittää 1x4-matriisina \(u = [a,b,c,d]\), joka on vaakavektori. Matriisiin muotoon asetetaan vain komponentit, ei kantavektoreita.
Tensorituloavaruuden \(V \otimes V\) vektori \(T\) on bilineaarinen kuvaus
\(T: V^* \times V^* \to \mathbb R\)
Tämä (2,0)-tensori voidaan kirjoittaa tensorituloavaruuden kantavektoreilla
\(T = T^{\mu\nu}e_\mu \otimes e_\nu\)
Tensorin komponentit, jotka ovat \(T^{\mu\nu}\), voidaan esittää 4x4-matriisina, mutta komponenttien esitys matriisina ei tee tensorista T matriisia. Samoin kuin vektorin \(v\) komponenttien esitys matriisina ei tee vektorista matriisia.
Nyt sitten matriiseihin. Lineaarialgebrassa matriisilla tarkoitetaan vektoriavaruuden \(V\) lineaarikuvausta. Esimerkiksi kuvaus \(\Lambda: V \to V\) on lineaarikuvaus, joka muuntaa vektorit \(v \in V\).
Muunnoksen \(\Lambda\) muodostamiseksi valitaan \(V\):n jokin kantavektorijoukko \(\{e_\mu\}\). Valinnan jälkeen \(\Lambda\) voidaan kirjoittaa matriisina \({\Lambda^\mu}_\nu\). Tässä nyt \(\Lambda\) on Lorentzin ryhmän alkio, ja sen matriisiesitys vektoriavaruuden \(V\) kannnassa \(\{e_\mu\}\). Tuo matriisi \(\Lambda\) ei siis ole vektori, kovektori, tensori, tai muukaan vektoriavaruuden alkio.
\(\Lambda\) muuntuu \(\Lambda \to M \Lambda M^{-1}\), missä \(M\) on avaruuden \(V\) kantavektorimuunnos. Tämä on lineaarisen operaattorin ominaisuus.
Tensori \(T\) muuntuu puolestaan siten, että \(T'^{\mu\nu} = {\Lambda^\mu}_\alpha {\Lambda^\nu}_\beta T^{\alpha\beta}\), missä \(\Lambda\) on edellä mainittu matriisi. Yleisesti ottaen tensori \(T\) ei muunnu \(T \to M\ T\ M^{-1}\).
Matriisi \(\Lambda\) ja tensori \(T\) muuntuvat eri tavoin, ja \(T\) on aivan eri objekti kuin \(\Lambda\). Tensori nimenaomaan ei ole matriisi. Lineaarialgebrassa matriisin käsite onkin varattu lineaariselle operaattorille \(V \to V\).
Suhteellisuusteoriassa on muitakin objekteja, jotka voidaan esittää matriisimuodossa, mutta eivät ole matriiseja. Chrisfoffelin symboli \({\Gamma^\alpha}_{\beta\gamma}\) on 64-komponenttinen objekti, joka ei ole matriisi eikä myöskään tensori, mutta sen voi kirjoittaa 3-ulotteisen matriisin muodossa.
Eihän vakiintunut kielenkäyttö mihinkään muutu, mutta jotenkin vain tykkäisin matriisikäsitteen laajemmasta hyödyntämisestä.
Ymmärryksessäni matriisi on aina 2-ulotteinen työkalu. 3-ulotteista työkalua nimittäisin 3-taulukoksi.
