Dysonin sarja ja kvanttikenttä

[Disputator]

Keskipäivää!

Iltaa!

Laitan tässä ihan lyhyesti näkyviin yhtälöitä, jotka liittyvät aikakehitysoperaattoriin \(U(t,t_0)\), kun \(U(t,t_0\)) ei ole muotoa \(U(t,t_0)=\exp(i(A(t-t_0)))\) eli \(U(t,t_0)\) ei ole välttämättäyksiparametriryhmä. Tässä voi ajatella matriiseja, niin ei tarvitse miettiä derivaattojen määritelmiä.

EDIT: poistan kaikki imaginaariyksiköt, koska olen alunperin laskenut tämän ilman niitä.

Oletetaan, että \(U(t,s)U(s,r)=U(t,r\)) kaikilla \(t,s,r\in\mathbb R\). Silloin voidaan johtaa differentiaaliyhtälöt:


\(\begin{align*}
U(t,s)A(s)&= -\frac{\partial U}{\partial s}(t,s)\\
B(t)U(t,s)&=-\frac{\partial U}{\partial t}(t,s)
\end{align*}
\),

missä määritellään matriisit:

\(\begin{align*}
A(s)&= \frac{\partial U}{\partial t}(t,s)\Big|_{t=s}\\
B(t)&= \frac{\partial U}{\partial s}(t,s)\Big|_{s=t}
\end{align*}
\).

Nyt kuitenkin \(A(t)=-B(t)\) tai \(A(s)=-B(s)\), kun \(s=t\), jolloin ylläolevat differentiaaliyhtälöt (DY) saavat muodon:

\(\begin{align*}
U(t,s)A(s)&=- \frac{\partial U}{\partial s}(t,s)\\
A(t)U(t,s)&=\frac{\partial U}{\partial t}(t,s)
\end{align*}
\).

Esimerkiksi tuossa jälkimmäisessä \( A(t)\) on laskettu kun \(s=t\) ja tulos kerrotaan oikealta operaattorilla \(U(t,s)\), missä ei enää välttämättä \(s=t \). Tämä on hieman kinkkistä, mutta nuo kaavat pitäisi olla oikeita, mutta mun kaavojen johtaminen (mitä en kirjoittanut) voi sisältää päättelyvirheitä. Noilla on vastine ajasta riippuvien vektorikenttien \(X(t,x(t))\) tai differentiaaliyhtälöiden vastaavissa kaavoissa, jossa differentiaaliyhtälö on muotoa:

\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=X(t,x(t))\).

Lisäksi löysin netistä vastaavat differentiaaliyhtälöt (DY) koskien juuri tätä keissiä, mutta ilman johtamista.

No niin. Hetken aikaa jouduin ihmettelemään mitä tässä tapahtui, mutta ehkä löysin yhteyden kvanttimekaniikkaan. Jos nyt ajatellaan, että \(U(t,s)\) on aikakehityksen operaattori, ja \(t \ge s\) niin Schrödingerin kuvassa

\(\ket{\psi(t)}=U(t,s) \ket{\psi(s)}\)

Kirjoittamiisi yhtälöihin

\(\begin{align*}
U(t,s)A(s)&=- \frac{\partial U}{\partial s}(t,s)\\
A(t)U(t,s)&=\frac{\partial U}{\partial t}(t,s)
\end{align*}\)

voidaan kvanttimekaniikassa valita Hamilton siten, että \(A(t)=-i H(t)\), jolloin jälkimmäinen yhtälö on (\(\hbar = 1\))

\(\displaystyle i\frac{\partial U}{\partial t}(t,s)=H(t)\ U(t,s)\).

Tämä on aikakehityksen \(U(t,s)\) määritelmä. Hamilton \(H(t)\) generoi aikakehitys-operaattorin \(U(t,s)\) muutoksen siten, että loppuaika \(t\) kasvaa. Ensiksi mainittu yhtälö saa vastaavasti muodon

\(\displaystyle i\frac{\partial U}{\partial s}(t,s)=-U(t,s)\ H(s)\)

missä \(H(s)\) generoi aikakehitys-operaattorin \(U(t,s)\) muutoksen siten, että alkuaika \(s\) kasvaa. Ja tuo operaattori \(U(t,s)\) siirtyy tässä tavallaan taaksepäin.

Joo, nämä ovat ne yhteydet kvanttimekaniikkaan.

Lisäksi tiedetään, että \(U(t,s)U(s,t) = U(t,t) = 1\), joten \(U(s,t) = U^{-1}(t,s)\). Aikakehitys on unitaarinen (\(U^\dagger U = 1\)), joten \(U(s,t) = U^{-1}(t,s) = U^\dagger(t,s)\). Käänteinen aikakehitys \(U(s,t)\) on siis aikakehityksen \(U(t,s)\) adjungaatti.

Kun tilavektorin aikakehityksestä otetaan adjungaatti, niin

\(\bra{\psi(t)} = \bra{\psi(s)}\ U^\dagger(t,s) = \bra{\psi(s)}\ U(s,t)\)

missä ainakin tietyllä tavalla voidaan sanoa, että ket-vektorin aikakehitys \(U(s,t)\) kulkee taaksepäin (\(t \to s\)).

Tosiaankin bra-vektorille tuo \(U(s,t)\) toimii noin.

Muutenkin tuo \(U(t,s)\) vaikuttaa merkilliseltä otukselta. Oli siis voimassa \(U(t,s)U(s,r)=U(t,r\)) kaikilla \(t,s,r\in\mathbb R\) ja tuosta saadaan unitaariselle operaattorille \(U(t,s)\), kuten laskit, käänteisoperaattori \(U^{-1}(t,s)=U(s,t) =U^\dagger(t,s)\). Voisi sitten ajatella, että tuollaiset operaattorit \(U(t,s)\) muodostaisivat ryhmän, mutta niin ei ilmeisesti ole, sillä esimerkiksi tulo \(U(3,2)U(2,1) =U(3,1)\) on määritelty, mutta tulo \(U(2,1)U(3,2)\), vaikka onkin unitaarinen, niin se ei ole vältämättä muotoa \(U(x,y)\), joillain \(x,y\in\mathbb R\). Hmm, pitääpä pohtia asiaa.

[QS]

...
Muutenkin tuo \(U(t,s)\) vaikuttaa merkilliseltä otukselta. Oli siis voimassa \(U(t,s)U(s,r)=U(t,r\)) kaikilla \(t,s,r\in\mathbb R\) ja tuosta saadaan unitaariselle operaattorille \(U(t,s)\), kuten laskit, käänteisoperaattori \(U^{-1}(t,s)=U(s,t) =U^\dagger(t,s)\). Voisi sitten ajatella, että tuollaiset operaattorit \(U(t,s)\) muodostaisivat ryhmän, mutta niin ei ilmeisesti ole, sillä esimerkiksi tulo \(U(3,2)U(2,1) =U(3,1)\) on määritelty, mutta tulo \(U(2,1)U(3,2)\), vaikka onkin unitaarinen, niin se ei ole vältämättä muotoa \(U(x,y)\), joillain \(x,y\in\mathbb R\). Hmm, pitääpä pohtia asiaa.

Joo, näin se kyllä on. Joukko \(\{U(t,s)\}\) ei ole ryhmä, mutta on olemassa erikoistapaus, jolloin se on ryhmä. Erikoistapaus saadaan Stonen teoreemasta, jonka vaatimus on se, että generaattori \(A(t)\) on riippumaton parametrista \(t\), eli siis \(A(t) = A\), ja \(A\) on itseadjungoitu. Tässä tapauksessa \(\{U(t,s)\}\) on vahvasti jatkuva yksi-paramterinen unitaarinen ryhmä, ja ryhmän alkion voi kirjoittaa \(U(t,s) = U(t-s) = U(t)\), missä \(U(t) = \exp(-iAt)\). Kun generaattori \(A(t)\), tai kvanttimekaniikan tapauksessa Hamilton \(H(t)\), on ajasta riippuva, niin kyseessä on vain joukko unitaarisia operaattoreita.

Ja nyt kun tätä miettii, niin ryhmäominaisuuden puuttuminen on ymmärrettävääkin, sillä ryhmään liittyy (yleensä) symmetria-ominaisuus. Kun Hamilton on aikariippuva, niin aikakehityksen generaattori \(H(t)\) on aikariippuva, ja sen seurauksena ajansiirron \(t_1 \to t_2\) symmetriaa ei ole. Konreettisena esimerkkinä jokin aikariippuva potentiaali \(V(t)\), joka tietysti rikkoo ajansiirron symmetrian. Tämä näyttäytyy aikajärjestetyssä eksponentissa siten, että eri ajanhetkien Hamiltoneja ei voi asettaa täysin mielivaltaiseen järjestykseen, vaan ne asetetaan tiettyyn järjestykseen. Aikajärjestyksen operaattori tavallaan takaa sen, että "systeemi muistaa missä järjestyksessä dynamiikka etenee" (pahoittelut arkipäiväisestä vertauskuvasta ).

[Disputator]

...
Muutenkin tuo \(U(t,s)\) vaikuttaa merkilliseltä otukselta. Oli siis voimassa \(U(t,s)U(s,r)=U(t,r\)) kaikilla \(t,s,r\in\mathbb R\) ja tuosta saadaan unitaariselle operaattorille \(U(t,s)\), kuten laskit, käänteisoperaattori \(U^{-1}(t,s)=U(s,t) =U^\dagger(t,s)\). Voisi sitten ajatella, että tuollaiset operaattorit \(U(t,s)\) muodostaisivat ryhmän, mutta niin ei ilmeisesti ole, sillä esimerkiksi tulo \(U(3,2)U(2,1) =U(3,1)\) on määritelty, mutta tulo \(U(2,1)U(3,2)\), vaikka onkin unitaarinen, niin se ei ole vältämättä muotoa \(U(x,y)\), joillain \(x,y\in\mathbb R\). Hmm, pitääpä pohtia asiaa.

Joo, näin se kyllä on. Joukko \(\{U(t,s)\}\) ei ole ryhmä, mutta on olemassa erikoistapaus, jolloin se on ryhmä. Erikoistapaus saadaan Stonen teoreemasta, jonka vaatimus on se, että generaattori \(A(t)\) on riippumaton parametrista \(t\), eli siis \(A(t) = A\), ja \(A\) on itseadjungoitu. Tässä tapauksessa \(\{U(t,s)\}\) on vahvasti jatkuva yksi-paramterinen unitaarinen ryhmä, ja ryhmän alkion voi kirjoittaa \(U(t,s) = U(t-s) = U(t)\), missä \(U(t) = \exp(-iAt)\). Kun generaattori \(A(t)\), tai kvanttimekaniikan tapauksessa Hamilton \(H(t)\), on ajasta riippuva, niin kyseessä on vain joukko unitaarisia operaattoreita.

Ja nyt kun tätä miettii, niin ryhmäominaisuuden puuttuminen on ymmärrettävääkin, sillä ryhmään liittyy (yleensä) symmetria-ominaisuus. Kun Hamilton on aikariippuva, niin aikakehityksen generaattori \(H(t)\) on aikariippuva, ja sen seurauksena ajansiirron \(t_1 \to t_2\) symmetriaa ei ole. Konreettisena esimerkkinä jokin aikariippuva potentiaali \(V(t)\), joka tietysti rikkoo ajansiirron symmetrian. Tämä näyttäytyy aikajärjestetyssä eksponentissa siten, että eri ajanhetkien Hamiltoneja ei voi asettaa täysin mielivaltaiseen järjestykseen, vaan ne asetetaan tiettyyn järjestykseen. Aikajärjestyksen operaattori tavallaan takaa sen, että "systeemi muistaa missä järjestyksessä dynamiikka etenee" (pahoittelut arkipäiväisestä vertauskuvasta ).

Kyllä, näin asia pitää nähdä, yleisesti. Pienenä pilkunviilauksena, , aikajärjestysoperaattoria ei kuitenkaan tarvita, jos eri aikojen Hamiltonit kommutoivat, siis \([H(t_1,H(t_2)]=0\) kaikilla \(t_1,t_2\in \mathbb R\).

Huomasin muuten omasta kirjoituksestani hieman epämääräisen olettamuksen koskien vaatimusta \(U(t,s)U(s,r)=U(t,r\)) kaikilla \(t,s,r\in\mathbb R\). Ehkä tuollainen vaatimus voidaan asettaa, mutta yleensä (kai) vaaditaan \(U(t,s)U(s,r)=U(t,r\)) kaikilla \(t\geq s\geq r\in\mathbb R\).

[QS]

...
Muutenkin tuo \(U(t,s)\) vaikuttaa merkilliseltä otukselta. Oli siis voimassa \(U(t,s)U(s,r)=U(t,r\)) kaikilla \(t,s,r\in\mathbb R\) ja tuosta saadaan unitaariselle operaattorille \(U(t,s)\), kuten laskit, käänteisoperaattori \(U^{-1}(t,s)=U(s,t) =U^\dagger(t,s)\). Voisi sitten ajatella, että tuollaiset operaattorit \(U(t,s)\) muodostaisivat ryhmän, mutta niin ei ilmeisesti ole, sillä esimerkiksi tulo \(U(3,2)U(2,1) =U(3,1)\) on määritelty, mutta tulo \(U(2,1)U(3,2)\), vaikka onkin unitaarinen, niin se ei ole vältämättä muotoa \(U(x,y)\), joillain \(x,y\in\mathbb R\). Hmm, pitääpä pohtia asiaa.

Joo, näin se kyllä on. Joukko \(\{U(t,s)\}\) ei ole ryhmä, mutta on olemassa erikoistapaus, jolloin se on ryhmä. Erikoistapaus saadaan Stonen teoreemasta, jonka vaatimus on se, että generaattori \(A(t)\) on riippumaton parametrista \(t\), eli siis \(A(t) = A\), ja \(A\) on itseadjungoitu. Tässä tapauksessa \(\{U(t,s)\}\) on vahvasti jatkuva yksi-paramterinen unitaarinen ryhmä, ja ryhmän alkion voi kirjoittaa \(U(t,s) = U(t-s) = U(t)\), missä \(U(t) = \exp(-iAt)\). Kun generaattori \(A(t)\), tai kvanttimekaniikan tapauksessa Hamilton \(H(t)\), on ajasta riippuva, niin kyseessä on vain joukko unitaarisia operaattoreita.

Ja nyt kun tätä miettii, niin ryhmäominaisuuden puuttuminen on ymmärrettävääkin, sillä ryhmään liittyy (yleensä) symmetria-ominaisuus. Kun Hamilton on aikariippuva, niin aikakehityksen generaattori \(H(t)\) on aikariippuva, ja sen seurauksena ajansiirron \(t_1 \to t_2\) symmetriaa ei ole. Konreettisena esimerkkinä jokin aikariippuva potentiaali \(V(t)\), joka tietysti rikkoo ajansiirron symmetrian. Tämä näyttäytyy aikajärjestetyssä eksponentissa siten, että eri ajanhetkien Hamiltoneja ei voi asettaa täysin mielivaltaiseen järjestykseen, vaan ne asetetaan tiettyyn järjestykseen. Aikajärjestyksen operaattori tavallaan takaa sen, että "systeemi muistaa missä järjestyksessä dynamiikka etenee" (pahoittelut arkipäiväisestä vertauskuvasta ).

Kyllä, näin asia pitää nähdä, yleisesti. Pienenä pilkunviilauksena, , aikajärjestysoperaattoria ei kuitenkaan tarvita, jos eri aikojen Hamiltonit kommutoivat, siis \([H(t_1),H(t_2)]=0\) kaikilla \(t_1,t_2\in \mathbb R\).

Hyvä tarkennus, sillä tuohan on täysin mahdollista, että kommutoivat.

Huomasin muuten omasta kirjoituksestani hieman epämääräisen olettamuksen koskien vaatimusta \(U(t,s)U(s,r)=U(t,r\)) kaikilla \(t,s,r\in\mathbb R\). Ehkä tuollainen vaatimus voidaan asettaa, mutta yleensä (kai) vaaditaan \(U(t,s)U(s,r)=U(t,r\)) kaikilla \(t\geq s\geq r\in\mathbb R\).

Normaali oletus fysiikassa taitaa olla \(t\geq s\geq r\in\mathbb R\), mutta ei ehkä välttämätön, sillä ajankäännön symmetria kyllä pätee kvanttimekaniikassakin, joten nuo voivat olla myös toisin päin. Ainakin äkkiseltään ajateltuna. Hmm.