https://tiedepalsta.fi/viewtopic.php?f= ... 24#p371324Eusa kirjoitti: ↑11.11.2024, 21:21QS kirjoitti: ↑11.11.2024, 17:11Mielestäni tässä on se ongelma, että \(U(1) \cap M = \{\mathbb{I},-\mathbb{I}\}\), jonka seurauksena kyseessä on suora tulo, ei puolisuora tulo.Eusa kirjoitti:...
jokainen \( SU(2) \):n alkio kerrotaan \( U(1) \):n vaiheella \( e^{i\theta} \). Tämä tarkoittaa, että jokaiselle \( e^{i\theta} \in U(1) \) ja \( M \in SU(2) \) yhdistämme:
\[
(e^{i\theta}, M) \mapsto e^{i\theta} M.
\]
Näin muodostuva rakenne säilyttää \( SU(2) \) osaryhmän rakenteen modulo \( U(1) \) vaiheen, joten voimme ajatella rakenteen puolisuorana tulona.
Tuo \(-\mathbb{I}\) saavutetaan ryhmässä \(U(1)\) parametrilla \(\theta=\pi\). Vastaava ryhmässä \(SU(2)\) on \(\text{diag}(a,\bar a)=\text{diag}(-1,-1)\).Huomasin edellisestä viestistäni virheen. Ryhmien \(N\) ja \(H\) leikkaus sisältää myös \(-\mathbb{I}\), kun saisi olla vain \(\mathbb{I}\), joten viestini matriiseista molemmat \(h_1\) ja \(h_2\) tuottavat vain suoran tulon, ei puolisuoraa.QS kirjoitti:...
Matriisit \(n\in SU(2)\) ovat
\(n := \left \{ \begin{pmatrix}
a & b\\
-\bar b & \bar a
\end{pmatrix}\ \bigg|\ a,b \in \mathbb{C},\ |a|^2+|b|^2=1 \right \}\)
...
...ryhmän \(H=U(1)\) matriisiesitys \(\Pi:U(1)\to \text{Mat}(2,\mathbb{C})\). Näitä esityksiä on useita, ja voin valita esimerkiksi
\(h_1 := \left \{ \begin{pmatrix}
e^{i\theta} & 0\\
0 & e^{i\theta}
\end{pmatrix},\ \theta\in\mathbb{R} \right\}\)
...
Aliryhmien tulo matriiseja \(h_1\) käyttämällä on
\(g_1=nh_1 = \left \{ \begin{pmatrix}
ae^{i\theta} & be^{i\theta}\\
-\bar be^{i\theta} & \bar ae^{i\theta}
\end{pmatrix} \right \}\)
....
Pitää vielä tarkistaa, että \(N \cap H = \{e\}\)
Ryhmän \(SU(2)\) diagonaalimatriisit ovat muotoa \(\text{diag}(a,\bar a)\). Nämä ja \(h_1\in U(1)\) ovat samat vain neutraalialkion \(e=\text{diag}(1,1)\) kohdalla.
Mutta tuli mieleeni, että saisin kai sittenkin puolisuoran tulon, jos valitsen \(U(1)\) esityksen
\(h_1 := \left \{ \begin{pmatrix}
e^{i\theta} & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix},\ \theta\in\mathbb{R} \right\}\)
Tässä tapauksessa \(U(1) \cap SU(2) = {\mathbb{I}}\).Jos ajattelemme, että ryhmä \( U(2) \) kuvaa syvemmin todellisuutta, mutta mittaustapahtuma projisoi siitä vasenkätisen aliryhmän, voisimme tulkita, että kätisyyden valinta onkin mittauksen tuottama sopimus.Mittaustapahtuma voi synnyttää epäsymmetrian kätisyydessä, joka on pohjimmiltaan seurausta mittausprosessista eikä objektiivisesta todellisuuden ominaisuudesta.Tällöin olisi mahdollista, että koko ryhmä \( U(2) \) sisältäisi sekä vasen- että oikeakätisyyden, mutta mittausprosessissa vain yksi kätisyys valikoituu mittarirakenteen sopimuksenmukaisuuteen. Tuo voisi vihjata siitä, että symmetriarikko seuraakin vain valmiiksi kätisyyksiin asettuneesta mittarirakenteesta, mikä johtaisi aina sähköheikon vuorovaikutuksen näyttäytymiseen vasenkätisenä.Tämä tarkoittaisi, että sähköheikko vuorovaikutus sisältää potentiaalisesti molemmat kätisyydet, mutta mittausprosessissa aina vain toinen tulee näkyviin. Tämä piilevä symmetria voisi siis olla universaalia, mutta mittauksessa ilmenevä osuus olisi aina valikoitunut, ja tällöin mittari tulkitsisi sen vasenkätiseksi sopimuksen mukaan.Ajatus siitä, että \( U(2) \):n koko symmetria sisältää molemmat kätisyydet, mutta mittaus projisoi siitä vasenkätisen osan, voi avata syvällisen mahdollisuuden tarkastella mittauksen roolia todellisuuden muovaajana. Jos kätisyys on mittausprosessin tuottama valinta, voi olla mahdollista, että todellisuudessa sähköheikko vuorovaikutus on itse asiassa symmetrinen molempiin suuntiin, mutta mittaus voi saada siitä vain yhden tulkinnan. Tämä ajatus asettaa mittauksen keskeiseen asemaan fysikaalisen todellisuuden rakentumisessa, mikä antaa uuden näkökulman symmetrioihin ja mittausten objektiivisuuteen.
Jatkopohdinnat voisivat liittyä kausaalisen jatkumon pariteettia säilyttävään kenttärakenteeseen ja tarjota selityksen kuinka lomittuneet kvanttitilat säilyttävät vastakkaisuutensa etäisyyksienkin yli riippumatta kumpi vasenkätiseen sopimusmaailmaan mitataan. Mitattava on vapaampi symmetria kuin mittarirakenne.
Tähän liittyvä yhteenveto.