Vektori

[Disputator]

Jatkan vielä vähän. Poincare-ryhmän redusoitumattomat unitaariset esitykset voidaan luokitella kahden Casimir-operaattorin ominaisarvojen avulla. Näitä Casimir-operaattoreita merkitään symboleilla \(P^2\) ja \(W^2\). Merkintä on vähän epäonnistunut (mutta vakiintunut), koska siinä helposti ajattelee, että on olemassa operaattorit \(P\) ja \(W\), joiden neliöitä nuo Casimir-operaattorit ovat, mistä ei ole kysymys.

Kyseiset operaattorit (signatuuri (-,+,+,+)):

\(\begin{align}
P^2&=-P^0+P^1+P^2+P^3\\
W^2&=-W^0+W^1+W^2+W^3
\end{align}
\)

Edellinen on muodostettu Poincare-ryhmän translaatiot generoivista Lie-algebran alkioista \(P^0,P^1,P^2,P^3\) ja jälkimmäinen on muodostettu Pauli-Lubanski (*kts alla) vektorin Lie-algebra vastineesta, käyttäen Lorentz-ryhmän Lie algebran puskujen ja rotaatioiden generaattoreita:

\(\begin{align}
W^0 &= -\mathbf{P}\cdot \mathbf{J}\\
\mathbf{W}&=-P^0\mathbf{J}+\mathbf{P}\times \mathbf{K}
\end{align}\)

Boldaus tarkoittaa vektoria, eli tuo on luettava komponenteittain.

Nyt tuo notaatio on hämäävä. Ylläolevat lausekkeet voivat kirjallisuudessa tarkoittaa sekä Poincaren ryhmän Lie algebran alkioiden avulla muodostettuja lausekkeita, esimerkiksi 5x5-matriiseja, mutta myös sen Poincareryhmän Lie algebran esityksen alkioita, jotka ovat ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden operaattoreita. Jälkimmäinen on se, jota tarvitaan siihen redusoitumattomien esitysten luokitteluun.

Helisiteetti liittyy nyt läheisesti tuohon jälkimmäiseen Casimir-operaattoriin \(W^2 \).

Siinä oli nyt sellainen tiekartta. Tiellä on kuitenkin paljon mutkia matkassa.

*) Puristi käyttäisi tietysti oikeaa termiä Pauli-Lubanski pseudovektori.

[Disputator]

Oh no, unohdin tuosta allaolevasta paljon:

Kyseiset operaattorit (signatuuri (-,+,+,+)):

\(\begin{align}
P^2&=-P^0+P^1+P^2+P^3\\
W^2&=-W^0+W^1+W^2+W^3
\end{align}
\)

 

 

Nuohan tietysti pitää olla:

\(\begin{align}
P^2&=-(P^0)^2+(P^1)^2+(P^2)^2+(P^3)^2\\
W^2&=-(W^0)^2+(W^1)^2+(W^2)^2+(W^3)^2
\end{align}
\)

Samat voidaan kirjoittaa kovariantisti:

\(\begin{align}
P^2&=P_{\mu} P^{\mu}\\
W^2&=W_{\mu} W^{\mu}\\
\end{align}
\)

[QS]

Jatkan vielä vähän. Poincare-ryhmän redusoitumattomat unitaariset esitykset voidaan luokitella kahden Casimir-operaattorin ominaisarvojen avulla. Näitä Casimir-operaattoreita merkitään symboleilla \(P^2\) ja \(W^2\). Merkintä on vähän epäonnistunut (mutta vakiintunut), koska siinä helposti ajattelee, että on olemassa operaattorit \(P\) ja \(W\), joiden neliöitä nuo Casimir-operaattorit ovat, mistä ei ole kysymys.

Kyseiset operaattorit (signatuuri (-,+,+,+)):

\(\begin{align} P^2&=-(P^0)^2+(P^1)^2+(P^2)^2+(P^3)^2\\ W^2&=-(W^0)^2+(W^1)^2+(W^2)^2+(W^3)^2 \end{align}\)


.....


\(\begin{align}
W^0 &= -\mathbf{P}\cdot \mathbf{J}\\
\mathbf{W}&=-P^0\mathbf{J}+\mathbf{P}\times \mathbf{K}
\end{align}\)

Boldaus tarkoittaa vektoria, eli tuo on luettava komponenteittain.

Nyt tuo notaatio on hämäävä. Ylläolevat lausekkeet voivat kirjallisuudessa tarkoittaa sekä Poincaren ryhmän Lie algebran alkioiden avulla muodostettuja lausekkeita, esimerkiksi 5x5-matriiseja, mutta myös sen Poincareryhmän Lie algebran esityksen alkioita, jotka ovat ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden operaattoreita. Jälkimmäinen on se, jota tarvitaan siihen redusoitumattomien esitysten luokitteluun.

...

*) Puristi käyttäisi tietysti oikeaa termiä Pauli-Lubanski pseudovektori.


 

Kyllä, ehdottomasti pseudovektori. Jätin näköjään itse tärkeän etuliitteen pois.

Nämä Pauli-Lubanskin pseudovektorin notaatiot ovat tosiaan vähän hassuja. Esimerkiksi tyypillinen kontraktio \(W^\mu W_\mu\) näyttäisi olevan (numeroarvoinen) skalaari, ja skalaari se tavallaan onkin. Konreettinen esimerkki valaisee asiaa. Oletetaan massallinen spin-1 hiukkanen levossa, jolloin \(p^\mu=(m,0,0,0)\). Tässä nyt \(W^\mu\) on konkreettisesti

\(W^\mu = (W^0, \vec W) = (0, m \vec J)\)

Tuo \(\vec J\) muodostuu \(\mathfrak{so}(3)\)-albegran generaattoreista, jotka ovat matriisiesityksenä 3x3-matriisit \(J_x\), \(J_y\) ja \(J_z\) eli siis kvanttimekaniikan kulmaliikemäärän operaattorit. Ensimmäinen komponentti \(W^0 = 0\) siksi, että \(\vec p \cdot \vec J = 0\). Muiden komponenttien \(\mathbf{P}\times \mathbf{K} = 0\) (tässäkin piilotettu notaation haaste, kun esitys on 3x3 matriiseilla).

Nyt voidaan laskea

\(W^\mu W_\mu = -(W^0) + \vec W \cdot \vec W = m^2\ \vec J \cdot \vec J\)

missä \(\vec J \cdot \vec J = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2 = 2\mathbb{I}_{3x3}\). Tämä on 3x3-matriisi, joka tarkoittaa sitä, että \(W^\mu W_\mu\) on operaattori, vaikka notaatio viittaa skaalaariin, joka olisi numeroarvo.

p.s ei nyt välitetä \(W^0\) etumerkeistä, saattoi olla eri signatturi tai jotain.

Mulle on nyt vähän hämärää termi polarisaatiotila tässä kontekstissa, vaikka jollain tavalla ne ymmärränkin SM-aaltojen tapauksessa. Mutta ei hätää, täytyy tutkia asiaa ja mä kirjoittelen tähän omia näkökulmia kun kerkeän.

Ensimmäinen lauseesi on tosi myös globaalisti .

Kentän kvantisointi johtaa siihen, että polarisaatiovektori tarvitaan, mutta asian intuitiivinen sisäistäminen jää osittain hämärän peittoon käsittääkseni kaikilta, joten ei huolta. Sanavalintasi polarisaatiotila on hyvä, koska sisältää implisiittisesti kysymyksen, että onko alkeishiukkasella kvanttitila, jonka nimi on polarisaatio. Mielestäni ei ole, mutta tämä on kysymys, johon voidaan paneutua ajan kanssa.

[Eusa]

Pseudovektori \(W^μ\) itsessään muuntuu kyllä koordinaatistomuunnoksissa, mutta sen kontraktio on rakennettu juuri niin, että siitä tulee invariantti. Tämä on kvanttikenttäteorian keskeisiä tuloksia: voimme tunnistaa hiukkasen sisäisen ominaisuuden (spin) tämän invariantin avulla, koordinaatistosta riippumatta. Siksikin voidaan tulla johtopäätökseen, että spinin taustalla on globaali yhteisrytmi, pinori-funktionaali, tuottaen paikalliset spinit hiukkasille vuorovaikutustilojaan varten.

[QS]

Iltapäivää!

Tämä on hyvin mielenkiintoinen aihe ja tässä liikutaan periaatteessa samoilla (syvillä) vesillä kuin siinä Spinori-ketjussa.

Voidaan myös määritellä helisiteetti-operaattori \(\hat h = \hat{\mathbf J} \cdot \hat{\mathbf p}/|\mathbf p|\), missä \(\hat{\mathbf p}\) on liikemääräoperaattori ja \(\hat{\mathbf J}\) on kulmaliikemääräoperaattori. Tällä saadaan helisiteetti liikemäärän suunnassa, \(\hat h \ket{\mathbf p,\lambda} = \lambda \ket{\mathbf p,\lambda}\). Tuo \(\hat h\) ei tosin ole määritelty lepokehyksessä, jonka takia \(J_z\) on elegantimpi.
...

Noin määrittelty helisiteetti \( \lambda\) massalliselle hiukkaselle on käsittääkseni invariantti rotaatioissa, jossa siis vain käännetään systeemiä rotaatiolla R ja systeemiä kuvaava tilavektori unitaarisella \(U(\Lambda,0) \) ja operaattori \(\hat{\mathbf J} \cdot \hat{\mathbf p} \) muuntuu operaattoriksi \(U(\Lambda^{-1},0)\:(\hat{\mathbf J} \cdot \hat{\mathbf p})\:U(\Lambda,0)\). Tai niin ainakin tulkitsen kirjani merkinnät.

Tuo invarianssi (eli \(\lambda\) säilyy) ei kuitenkaan päde yleiselle Lorentz-muunnokselle.

Mielestäni olet oikeassa. Paneuduin samaan asiaan, mutta polarisaatiovektorin kautta. Weinbergin kirjan lukeminen on suorastaan kiehtovaa ja täysimääräistä itsensä kiduttamista

Hylkäsin ajatuksen operaattorista, joka antaisi lepokehyksen \(\lambda\):n tilanteessa, jossa polarisaatio on muunnettu mielivaltaisella Lorentz-muunnoksella. Massallisen spin-1 kentän muunnokseen liittyy nimittäin vaikka ja mitä.

Weinberg määrittelee luvussa 2.5 muunnoksen \(L(p)\) siten, että (suora lainaus, kaava 2.5.24, ja huomiona, että aika-koordinaatti on neljäs koordinaatti)

we need to choose a 'standard boost' \(L(p)\) which carries the four-momentum from \(k^\mu=(0,0,0,M)\) to \(p^\mu\). This is conveniently chosen as

\(\begin{align}
{L^i}_k (p)&=\delta_{ik}+(\gamma-1)\hat p_i \hat p_k\\
{L^i}_0 (p)&={L^0}_i (p)=\hat p_i \sqrt{\gamma^2-1}\\
{L^0}_0 (p)&=\gamma
\end{align}\)

where

\(\hat p_i \equiv p_i/|\mathbf p|,\quad \gamma\equiv \sqrt{\mathbf p^2+ M^2}/M\).

It is very important that when \({\Lambda^\mu}_\nu\) is an arbitrary three-dimensional rotation \(\mathfrak{R}\), the Wigner rotation \(W(\Lambda,p)\) is the same as \(\mathfrak{R}\) for all p. To see this, note that the boost (2.5.24) may be expressed as

\(L(p)=R(\mathbf{\hat p})\ B(|\mathbf p|)\ R^{-1}(\mathbf{\hat p})\)

where \(R(\mathbf{\hat p})\) is a rotation that takes the three-axis into the direction of \(\mathbf p\).

\(L(p)\) määritellään siten, että ensin kierto \(R^{-1}\), joka kiertää vektorin \(\mathbf p=(p_x,p_y,p_z)\) z-akselin suuntaan. Tämän jälkeen z-akselin pusku \(B(|\mathbf p|)\), ja lopuksi kierto \(R\) takaisin \(\mathbf p\) suuntaiseksi.

Hiukan myöhemmin kirja toteaakin, että \(L(p)\) takaa sen, että Wignerin rotaatio \(W(\Lambda,\mathbf p) = W(\mathfrak{R},\mathbf p) = \mathfrak{R}\), mikä tarkoitta sitä, että liikkuvan hiukkasen tilavektorit muuntuvat rotaatiossa samoin kuin epärelativistisen kvanttimekaniikan hiukkaset.

Tätä kirja hehkuttaa: "This is another piece of good news - the whole apparatus of spherical harmonics, Glebsch-Gordan coefficients, etc. can be carried over wholesale from non-relativistic to relativistic quantum mechanics."

Jäi kuitenkin häiritsemään se, että luku 5.3 määrittelee liikkuvan hiukkasen polarisaatiovektorin

\(\epsilon^\mu(\mathbf p,\lambda) \equiv {L(\mathbf p)^\mu}_\nu\epsilon^\nu(0,\lambda)\)

missä 'standard boost'-muunnos \(L(p)\). Tämä on varsin rajoitettu, sillä määrittelyn nojalla \(L(p)\) on mahdollista hajottaa puskuksi \(B\) ja rotaatioksi \(R\). Yleinen muunnos ei aina hajoa. Piti edetä lukuun 5.9 asti ennen kuin löytyi massattoman kentän yhteydessä viittaus massallisen kentän muunnoksiin. Sitten piti palata taakse päin lukuun 5.1, jota en tietysti aluksi huomioinut.

Luku 5.1 Free Fields, ja kaavat (5.1.4) ja (5.1.5), määrittelevät massallisen operaattorikentän muunnoksen siten, että poistokentän \(\psi_\ell^+\) ja luontikentän \(\psi_\ell^+\)

\(\begin{align}\displaystyle
\psi_\ell^+&=\sum_{\lambda}\int d^3p\ u_\ell(x;\mathbf p,\lambda)\ a(\mathbf p,\lambda)\\
\psi_\ell^-&=\sum_{\lambda}\int d^3p\ v_\ell(x;\mathbf p,\lambda)\ a^\dagger(\mathbf p,\lambda)
\end{align}\)

funktiot \(u_\ell\) ja \(v_\ell\) valitaan siten, että Lorentz-muunnokset \(\Lambda\) ovat (kaavat 5.1.6 ja 5.1.7)

\(\begin{align}\displaystyle
U_0(\Lambda,a)\ \psi_\ell^+(x)\ U_0^{-1}(\Lambda,a)&=\sum_{\bar \ell}\ D_{\ell \bar \ell}(\Lambda^{-1})\ \psi_{\bar \ell}^+(\Lambda x + a)\\
U_0(\Lambda,a)\ \psi_\ell^-(x)\ U_0^{-1}(\Lambda,a)&=\sum_{\bar \ell}\ D_{\ell \bar \ell}(\Lambda^{-1})\ \psi_{\bar \ell}^-(\Lambda x + a)
\end{align}\)

missä \(D\) on Lorentz-ryhmän esitysmatriisi, joka on kentästä riippuen triviaali esitys, vektoriesitys tai spinoriesitys. Matriisi D sisältää myös Wignerin rotaation, kun kyseessä on mielivaltainen muunnos. Tässä muunnos ei kohdistu vain lepokehyksen (\(\mathbf p=0\)) funktioon \(u_\ell(x;0,\lambda)\), vaan yleisemmin funktioon \(u_\ell(x;\mathbf p,\lambda)\). Voidaan siis tehdä lepokehykseen 'standard boost' \(L(p)\), jonka jälkeen edellä mainitut yleiset muunnokset.

Näitä sovelsin massalliseen (operaattori-)vektorikenttään \(V^\mu\), ja esimerkkinä sen luontikenttään (ilman miinus-yläindeksiä)

\(\displaystyle V^\mu(x)=\sum_{\lambda}d^3p\ v^\mu(x;\mathbf p,\lambda)\ a^\dagger(\mathbf p,\lambda) \)

missä \(v^\mu(x;\mathbf p,\lambda)=\epsilon^\mu(\mathbf p,\lambda)\ e^{-ipx}\). Tuo \(V^{\mu}\) muuntuu siten, että

\(V^\mu \to V^{\mu} = {\Lambda^\mu}_\nu V^\nu(\Lambda x+a)\)

Tässä on sellainen erikoisuus, että muunnokseen käytetään vektoriesitystä \({\Lambda^\mu}_\nu=D(\Lambda^{-1})\), missä on käänteinen muunnos \(\Lambda^{-1}\). Tuohon ominaisuuteen pitää palata joskus toiste. Kun polarisaatiovektori \(\epsilon^\mu(\mathbf p,\lambda)\) eristetään muunnoksesta (5.1.7), niin mielestäni jäljelle jää

\(\displaystyle \epsilon^\mu(\mathbf p,\lambda) \to \sum_{\lambda'} D_{\lambda'\lambda}\left[W(\Lambda,\mathbf p)\right]\ {\Lambda^\mu}_\nu\ \epsilon^\nu(\Lambda^{-1}\mathbf p,\lambda')\)

missä vektoriesityksen matriisi \(D_{\lambda'\lambda}\left[W(\Lambda,\mathbf p)\right]\) sisältää Wignerin rotaation. Tämä muunnoskaava mahdollistaa muutkin kuin luvun 5.3 'standard boost'-muunnokset \(L(p)\). Kun kaavaa käyttää vektoriin \(\epsilon^\mu(0,\lambda)\) siten, että kyseessä vain standard boost \(L(p)\), niin Wignerin rotaatio \(D = \mathbb{I}\), ja saadaan

\(\epsilon^\mu(0,\lambda) \to \mathbb{I}_{4x4}\ {\Lambda^\mu}_\nu\ \epsilon^\nu(\Lambda^{-1}\mathbf 0,\lambda) = {L(p)^\mu}_\nu\ \epsilon^\nu(0,\lambda)\)

mikä on sama kuin \(\epsilon^\mu\):n määritelmä luvussa 5.3. Mielivaltaisessa muunnoksessa \(\Lambda\) on mukana termi

\(\displaystyle \sum_{\lambda'} D_{\lambda'\lambda}\left[W(\Lambda,\mathbf p)\right]\)

mikä johtaa siihen, että polarisaatio \(\epsilon^\mu\) muuntuu vektorien \(\epsilon^\mu(\mathbf p, \lambda')\) lineaarikombinaatioksi. Standard boost \(L(p)\) miksaa keskenään vain komponentit \(\epsilon^\mu\).

[QS]

...
missä 'standard boost'-muunnos \(L(p)\). Tämä on varsin rajoitettu, sillä määrittelyn nojalla \(L(p)\) on mahdollista hajottaa puskuksi \(B\) ja rotaatioksi \(R\). Yleinen muunnos ei aina hajoa.
...

Hiukan väärin sanoin. Ainakin periaatetasolla mielivaltainen Λ hajoaa puskuksi B ja rotaatioksi R, ehkä jotain poikkeuksia lukuun ottamatta. Tähän liittyy sekin, että koettaako hajotusta Lien algebrassa vai Lien ryhmän alkiolle.

Mutta L(p) on rajoitettu, se on puhdas pusku suuntaan p.

[Disputator]

Noin yleisesti aiheen vierestä: kvanttikenttäteorioiden ominaisuus, jossa hiukkaset ovat kahdessa "jakomielitautisessa " muodossa, eli siis Hilbertin avaruuden tilavektoreina \(\ket{\psi}\) ja samalla lähes klassisen vektori/spinori-kentän muodossa (pl. lisätyt poisto/luontioperaattorit), on teorian raivostuttavin piirre. Kahteen eri maailmaan jakautuneesta sopasta on vaikea luoda mitään intuitiota, että missä fysiikka tapahtuu ja miten. Nuo maailmat ovat tavallaan todella hyvin liimattu toisiinsa kiinni, mutta niiden käyttäytminen on aivan erilaista. Esimerkiksi artikkeli käsittelee vektoria \(\ket{p,\lambda}\) ja metrin päässä vieressä joku toinen artikkeli pyörittää samaa asiaa halvatun polarisaatiovektorin \(\epsilon^\mu(p,\lambda)\) kautta, ja molemmat käsittelevät samaa asiaa, jotka ovat samassa teoriassa aivan eri vektoriavaruuksissa, ja ihan tarkasti kukaan ei pysty sanomaan, että miksi ne molemmat pitää olla mukana. Tai pystyy, mutta ei kovin intuitiivisesti.

 

Tämän voin allekirjoitttaa täydellä sydämellä. Yksi lisä soppaan on se, että aika harvat lähteet erottelevat täsmällisesti sen, että onko eri jutuissa kyseessä passiivinen vai aktiivinen muunnos? Lasketaan jotain kiihkeästi ja saadaan jotain kaavoja aikaiseksi. Ota nyt siitä selvää, että mikä nyt oikeasti muuttuu tai ei muutu.

Olen tullut siihen tulokseen, että erityisesti teoreettisten fyysikoiden koulutukseen pitää kuuluua aina kaksi vuotta kestävä lähess täysipäiväinen opintojakso, jossa selvitellään passiivisen ja aktiivisen muunnoksen teoria kuvioiden kanssa taululla, eli kun kolmiota käännetään oikealle jne...

Sitten se kvanttifysiikan synti:

Kvanttikenttäteoriassa vs. aaltofunktioiden teoriassa?
Heisenbergin vai Schrödingerin kuvassa?

[QS]

Noin yleisesti aiheen vierestä: kvanttikenttäteorioiden ominaisuus, jossa hiukkaset ovat kahdessa "jakomielitautisessa " muodossa, eli siis Hilbertin avaruuden tilavektoreina \(\ket{\psi}\) ja samalla lähes klassisen vektori/spinori-kentän muodossa (pl. lisätyt poisto/luontioperaattorit), on teorian raivostuttavin piirre. Kahteen eri maailmaan jakautuneesta sopasta on vaikea luoda mitään intuitiota, että missä fysiikka tapahtuu ja miten. Nuo maailmat ovat tavallaan todella hyvin liimattu toisiinsa kiinni, mutta niiden käyttäytminen on aivan erilaista. Esimerkiksi artikkeli käsittelee vektoria \(\ket{p,\lambda}\) ja metrin päässä vieressä joku toinen artikkeli pyörittää samaa asiaa halvatun polarisaatiovektorin \(\epsilon^\mu(p,\lambda)\) kautta, ja molemmat käsittelevät samaa asiaa, jotka ovat samassa teoriassa aivan eri vektoriavaruuksissa, ja ihan tarkasti kukaan ei pysty sanomaan, että miksi ne molemmat pitää olla mukana. Tai pystyy, mutta ei kovin intuitiivisesti.

Tämän voin allekirjoitttaa täydellä sydämellä. Yksi lisä soppaan on se, että aika harvat lähteet erottelevat täsmällisesti sen, että onko eri jutuissa kyseessä passiivinen vai aktiivinen muunnos? Lasketaan jotain kiihkeästi ja saadaan jotain kaavoja aikaiseksi. Ota nyt siitä selvää, että mikä nyt oikeasti muuttuu tai ei muutu.

Olen tullut siihen tulokseen, että erityisesti teoreettisten fyysikoiden koulutukseen pitää kuuluua aina kaksi vuotta kestävä lähess täysipäiväinen opintojakso, jossa selvitellään passiivisen ja aktiivisen muunnoksen teoria kuvioiden kanssa taululla, eli kun kolmiota käännetään oikealle jne...

Ehdottomasti kyllä : D

Sitten se kvanttifysiikan synti:

Kvanttikenttäteoriassa vs. aaltofunktioiden teoriassa?
Heisenbergin vai Schrödingerin kuvassa?

Ja tähän vielä se, että kenttäteorian vuorovaikutukset esitetään Diracin kuvassa, johon liittyy Haagin teoreema, joka karkeasti ottaen (vähän karrikoidenkin) lausuu, että tarkasti ottaen tuo rakennelma ei voi mitenkään toimia

Mulle Diracin kuvan tai vuorovaikutuskuvan tekniset yksityiskohdat eivät koskaan ole olleet täysin selkeitä. Ehkä asiaan pitäisi joskus paneutua.
 

[Disputator]

Iltapäivää

Huomasin pienen asian joka koskee noita Casimir-operaattoreita. Laitan nyt ensin kaavat näkyviin:

\(\begin{align}
P^2&=-(P^0)^2+(P^1)^2+(P^2)^2+(P^3)^2\\
W^2&=-(W^0)^2+(W^1)^2+(W^2)^2+(W^3)^2
\end{align}
\)

\(\begin{align}
P^2&=P_{\mu} P^{\mu}\\
W^2&=W_{\mu} W^{\mu}\\
\end{align}
\)
\(\begin{align}
W^0 &= -\mathbf{P}\cdot \mathbf{J}\\
\mathbf{W}&=-P^0\mathbf{J}+\mathbf{P}\times \mathbf{K}
\end{align}\)

Nuo ovat muodostettu Poincare-ryhmän Lie-algebran alkioista, jotka ovat matriiseja. Ny se huomio. Jos käytetään ylä-ja alaindeksejä, niin tavallaan siinä implisiittisesti oletetaan, että matriisit \(W^{\mu},P^{\mu}\) muuntuvat muodollisesti samoilla kaavoilla kuin kontravariantit vektorit. Sitä tuo indeksinotaatio pitäisi tarkoittaa !?. Vastaavasti matriisit \(W_{\mu},P_{\mu}\) muuntuvat kovariantisti. Noita P:n muunnoskaavoja näkyy siellä täällä, mutta en ole törmännyt vastaaviin matriisien W tapauksessa.

Siis, jos esimerkiksi tehdään (passiivinen muunnos) Lorentz-koordinaattimuunnos \(x^{'\mu}=\Lambda^{\mu}\:_{\nu}\: x^{\nu}\), muuntuu matriisi \(P^{\mu}\) samalla kaavalla:

\(P^{'\mu}=\Lambda^{\mu}\:_{\nu}\: P^{\nu}\).

Vastaavasti alaindeksinen matriisi\( P_{\mu}\) muuntuu kaavalla:

\(P'^{\mu}=P_{\gamma}(\Lambda^{-1})^{\gamma}\:_{\mu}\).

Lasketaan:

\(P'^2\equiv P'_{\mu}\:P'^{\mu}=P_{\gamma}(\Lambda^{-1})^{\gamma}\:_{\mu}\:\Lambda^{\mu}\:_{\nu}\: P^{\nu}
=P_{\gamma}\:\delta^{\gamma}_{\nu}\: P^{\nu}=P_{\nu}P^{\nu}=P^2\)

Mä nyt en ole ihan varma siitä mitä mä just laskin.

[Disputator]

Iltapäivää

Huomasin pienen asian joka koskee noita Casimir-operaattoreita. Laitan nyt ensin kaavat näkyviin:

\(\begin{align}
P^2&=-(P^0)^2+(P^1)^2+(P^2)^2+(P^3)^2\\
W^2&=-(W^0)^2+(W^1)^2+(W^2)^2+(W^3)^2
\end{align}
\)

\(\begin{align}
P^2&=P_{\mu} P^{\mu}\\
W^2&=W_{\mu} W^{\mu}\\
\end{align}
\)
\(\begin{align}
W^0 &= -\mathbf{P}\cdot \mathbf{J}\\
\mathbf{W}&=-P^0\mathbf{J}+\mathbf{P}\times \mathbf{K}
\end{align}\)

Nuo ovat muodostettu Poincare-ryhmän Lie-algebran alkioista, jotka ovat matriiseja. Ny se huomio. Jos käytetään ylä-ja alaindeksejä, niin tavallaan siinä implisiittisesti oletetaan, että matriisit \(W^{\mu},P^{\mu}\) muuntuvat muodollisesti samoilla kaavoilla kuin kontravariantit vektorit. Sitä tuo indeksinotaatio pitäisi tarkoittaa !?. Vastaavasti matriisit \(W_{\mu},P_{\mu}\) muuntuvat kovariantisti. Noita P:n muunnoskaavoja näkyy siellä täällä, mutta en ole törmännyt vastaaviin matriisien W tapauksessa.

Siis, jos esimerkiksi tehdään (passiivinen muunnos) Lorentz-koordinaattimuunnos \(x^{'\mu}=\Lambda^{\mu}\:_{\nu}\: x^{\nu}\), muuntuu matriisi \(P^{\mu}\) samalla kaavalla:

\(P^{'\mu}=\Lambda^{\mu}\:_{\nu}\: P^{\nu}\).

Vastaavasti alaindeksinen matriisi\( P_{\mu}\) muuntuu kaavalla:

\(P'_{\mu}=P_{\gamma}(\Lambda^{-1})^{\gamma}\:_{\mu}\).

Lasketaan:

\(P'^2\equiv P'_{\mu}\:P'^{\mu}=P_{\gamma}(\Lambda^{-1})^{\gamma}\:_{\mu}\:\Lambda^{\mu}\:_{\nu}\: P^{\nu}
=P_{\gamma}\:\delta^{\gamma}_{\nu}\: P^{\nu}=P_{\nu}P^{\nu}=P^2\)

Mä nyt en ole ihan varma siitä mitä mä just laskin.

 

edit: pientä säätöä