Matematiikka on huijausta. Lukuja ei ole.

[Goswell]

Mites mielivaltaisen pieni. 1= 0,999... on eräiden väite, tuskimpa vaan on, vaan ero on juurikin mielivaltaisen pieni, ettei olisi jopa äärettömän pieni.

[QS]

On se hurja tuo kekkulin lukujoukko. Äärelliset luvut ovat rajoittamattomia ja suurinta lukua ei löydy, mutta ovat silti äärellisiä. Mielivaltaisen suuri luku on jossain äärellisen tuolla puolen, mutta on silti äärellinen. Vaikka suurinta lukua ei kekkulin lukujoukossa ole, niin silti parillisia on vähemmän kuin kekkulin lukuja. Ehkä pian julkaistaan artikkeli, jossa paljastetaan suurin alkuluku kekkulin lukujoukossa. Kertakaikkiaan veikeä sotku

[Eusa]

Mites mielivaltaisen pieni. 1 = 0,999... on eräiden väite, tuskimpa vaan on, vaan ero on juurikin mielivaltaisen pieni, ettei olisi jopa äärettömän pieni.

Jos sovittaisiin, etteivät äärettömän pitkät prosessit ole lukuja, niin 0,999... ei sitten olisi luku ensinkään.

Mutta tuo prosessi ON kyllä ohje ykkösen laskemiseksi, kun kaikki pienimmätkin siitä järjestelmällisesti pilkotut murto-osat lasketaan yhteen.

[Abezethibou]

Transfiniittinen induktio ordinaaleilla on käytössä Microsoftin Static Driver Verifier softassa jota tuli joskus käytettyä, nykyään CodeQL:ää. Cantorin haamu kurottaa reaalimaailman ongelmiin? Tuollaista tuli mieleen kun mietin että tarviiko niitä äärettömyyksiä oikeasti mihinkään.

[Keckman]

Siistin cantor artikkeliani: https://petke.info/cantor/ En paljon tekstiä muutellut, mutta sivu on nyt luettavissa myös kännykällä. Alkuun lisäsin tämän:

Galileo Galilei vastusti äärettömien joukkojen hyväksymistä matematiikkaan, koska se johtaa sellaiseen paradoksilta haiskahtavaan tilanteeseen, että parillisia lukuja on "yhtä paljon" kuin kaikkia lukuja. Siis joukon aito osajoukko olisi yhtä mahtava kuin joukko itse. Nykyisin tämä paradoksilta haiskahtava tilanne on hyväksytty äärettömän joukon määrittelyksi: joukko on ääretön, jos sillä on aito osajoukko, mikä on yhtä mahtava kuin se. Meikäläisen mielestä "vanhassa vara parempi" ja ajattelen samoin kuin Galileo.

[Keckman]

Cantor päätyi mielisairaalaan – ja nykyään sinne saattaisi päätyä kuka tahansa, joka uskaltaa kyseenalaistaa hänen teoriansa. Aika ei siis ehkä ole muuttunut niin paljon kuin luulemme, se vain vaihtoi roolit.

[Naturalisti]

Todellisuudessa maailma on yksi ja jakamaton.
Lapsi oppii harhaisesti luvut ja jakamisen taidon, kun hänelle osoitetaan omenaa ja sanotaan:
“Katso, Pekka — tässä on yksi omena, ja tässä toinen.”

Mutta tosiasiassa todellisuudessa ei ole kahta omenaa.
On vain yksi, jakamaton kokonaisuus, jota ihmismieli on opetettu pilkkomaan osiin.

Niinpä jopa luonnolliset luvut ovat vain kielellinen ja mentaalinen harha — tapa järjestää havaintoja, ei kuva todellisuudesta itsestään. Matematiikka on siis eräänlainen nerokas huijaus, mutta ei ole tosi.

Tämä on kiinnostava keskustelun avaus, mutta keskustelu näyttää kääntyneen otsikon aiheesta "mitä matematiikka on?" sen sisäisten lainalaisuuksien pohdintaan. Haluaisin palata vielä tähän peruskysymykseen.

En nyt kuitenkaan väittäisi, että matematiikka on suoranaista huijausta, vaan kannatan pikemmin fiktionalistista näkemystä: matematiikka on hyödyllinen fiktio ja se on olemassa vain ihmisten mielikuvituksessa. Toisinsanoen sillä ei ole materiaalista olemassaoloa ihmismielen materiaalisten prosessien ulkopuolella.

Yhdyn näkemyksesi, että maailma on jakamaton, mutta todennäköisesti se on kuitenkin kvantittunut ja muodostaa erikokoisia agrekaatteja. Ne kaikki ovat kuitenkin vain yksilöolioita.

Mielen mekanismi etsii kuitenkin aistimusvirrasta spatiotemporaalisia invariansseja ja luo niistä mielikuvia (vaikka omenoista) ja niiden välisiä suhteita ("luonnonlakeja") kyetäkseen ennustamaan tulevaa ja toimimaan rationaalisesti. Kun sitten keksittiin kieli, voitiin näistä mielikuvista keskustella lauman jäsenten kesken.

Matematiikka on siinä suhteessa erikoinen kieli, ettei sen olioilla ole vastinetta mielen ulkopuolisessa materiaalisessa todellisuudessa. Sitä voidaan kuitenkin käyttää apuneuvona realimaailmasta saatujen empiiristen havaintojen organisoinnissa. Se itsessään ei anna mitään tietoa todellisuudesta.

Olemmeko edellä sanotusta samaa mieltä?

[Keckman]

Tämä on kiinnostava keskustelun avaus, mutta keskustelu näyttää kääntyneen otsikon aiheesta "mitä matematiikka on?" sen sisäisten lainalaisuuksien pohdintaan. Haluaisin palata vielä tähän peruskysymykseen.

En nyt kuitenkaan väittäisi, että matematiikka on suoranaista huijausta, vaan kannatan pikemmin fiktionalistista näkemystä: matematiikka on hyödyllinen fiktio ja se on olemassa vain ihmisten mielikuvituksessa. Toisinsanoen sillä ei ole materiaalista olemassaoloa ihmismielen materiaalisten prosessien ulkopuolella.

Yhdyn näkemyksesi, että maailma on jakamaton, mutta todennäköisesti se on kuitenkin kvantittunut ja muodostaa erikokoisia agrekaatteja. Ne kaikki ovat kuitenkin vain yksilöolioita.

Mielen mekanismi etsii kuitenkin aistimusvirrasta spatiotemporaalisia invariansseja ja luo niistä mielikuvia (vaikka omenoista) ja niiden välisiä suhteita ("luonnonlakeja") kyetäkseen ennustamaan tulevaa ja toimimaan rationaalisesti. Kun sitten keksittiin kieli, voitiin näistä mielikuvista keskustella lauman jäsenten kesken.

Matematiikka on siinä suhteessa erikoinen kieli, ettei sen olioilla ole vastinetta mielen ulkopuolisessa materiaalisessa todellisuudessa. Sitä voidaan kuitenkin käyttää apuneuvona realimaailmasta saatujen empiiristen havaintojen organisoinnissa. Se itsessään ei anna mitään tietoa todellisuudesta.

Olemmeko edellä sanotusta samaa mieltä?

Taisi olla Galileo Galilei joka sanoi: "Luonnonlait ovat kirjoitettu matematiikan kielellä" Lause viittaa siihen, että matematiikan avulla voidaan kuvata ja mallintaa luontoa täsmällisesti ja objektiivisesti, ja se on keskeinen ajatus luonnontieteissä. Eli jos ottaisin Galilein kannan, niin emme vissiin olisi samaa mieltä, eli jos todellisuudella tarkoitetaan luonnonlakeja, niin kyllä matematiikka on kieli niiden ymmärtämiseen.

Tämän threadin ensimäisessä viestissä pohdin provokatiivisesti kieliposkella sitä kuinka lapsi oppii luvut. Voitaisiin laajentaa pohdintaa siihen, kuinka ihmislaji on kehittänyt oppijärjestelmän nimeltä matematiikka. Käsittääkseni paljolti käytännön tarpeet ovat sanelleet sen, että matematiikkaa alettiin kehittämään ja se alkoi kai kaupankäynnistä. Jo Mesopotamiassa n. 3000 eaa. kehitettiin laskentajärjestelmiä viljavarastojen, kauppatavaroiden ja verojen hallintaan. Torilla ostettiin tavaroita tai ruokaa ja jouduttiin laskemaan kuinka monta rahaa kaksikymmentä omenaa maksaa, jos yksi omena maksaa puoli rahaa tms. Ensimmäiset “lukujärjestelmät” olivat kirjanpidon välineitä, eivät abstrakteja teorioita. Vasta antiikin Kreikassa matematiikka abstrahoitui käytännöstä filosofiaan – se alkoi esittää väitettä todellisuuden rakenteesta, ei vain apukeinoa sen kuvaamiseen. Pythagoras ja Platon, tekivät matematiikasta ontologisen väitteen — ajatuksen, että luvut ja muodot ovat “todellisempia kuin havaittava maailma”.


Jos ajatellaan Newtonia ja differentiaalilaskentaa, niin hänen täytyi kehittää se pystyäkseen laskemaan planeettojen liikeratoja. Einstein taisi sanoa, että "Käsittämättömintä maailmassa on se, että se on käsitettävissä" En tiedä viittasiko Einstein matematiikkaan ja siihen, että maailmankaikkeus on käsitettävissä matematiikan kielellä.

Melkoinen mysteerihän se on: että maailmakaikkeuden luonnonlait ovat ilmaistavissa matematiikan kielellä.

[Keckman]

On se hurja tuo kekkulin lukujoukko. Äärelliset luvut ovat rajoittamattomia ja suurinta lukua ei löydy, mutta ovat silti äärellisiä. Mielivaltaisen suuri luku on jossain äärellisen tuolla puolen, mutta on silti äärellinen. Vaikka suurinta lukua ei kekkulin lukujoukossa ole, niin silti parillisia on vähemmän kuin kekkulin lukuja. Ehkä pian julkaistaan artikkeli, jossa paljastetaan suurin alkuluku kekkulin lukujoukossa. Kertakaikkiaan veikeä sotku

Kyllä! Mun lukujoukko on todellinen paradoksien paratiisi. Siellä äärellinen venyy äärettömäksi, mutta ei koskaan myönnä venyneensä. Jokainen luku väittää olevansa pienempi kuin joku toinen, mutta kukaan ei silti jää viimeiseksi.

Ehkä lopulta kaikki joukot ovatkin yksi ja sama joukko – se jakamaton todellisuus, jota matemaatikot yrittävät väkisin numeroida.

... ja kaikki todistukset päättyvät lauseeseen “mutta toisaalta”. Ehkä siksi viihdyn siellä niin hyvin.

[Keckman]

Jos joku, joka on Facebookissa haluaa osallistua keskusteluun äärettömyydestä, niin debattia käydään julkisessa "Rakastan matematiikkaa" ryhmässä:

https://www.facebook.com/groups/1135579 ... ently_seen

Kuten myös "Matematiikka" ryhmässä:

https://www.facebook.com/groups/6784853 ... 461268554/