Matematiikka on huijausta. Lukuja ei ole.

[Keckman]

Tämä on blogikirjoituksesi isoin virhe: et sovella Cantorin menetelmää. Olen nyt jo lukuisia kertoja selittänyt miksi menetelmäsi ei vastaa Cantorin diagonaaliargumenttia enkä asiaa toista, kun se olisi jankuttamista.

Meillä meni viestit ristiin. Mielestäni teen asian selväksi edellisessä viestissä. No, laitan sen tähänkin. Kyllä se toiston arvoinen on. Siirry kohtaan: "Tässä kohdin esitetään yleensä vastaväite..."
Onko ääretön joukko looginen vai illuusio?

Cantorin todistus perustuu vastaoletukseen: oletetaan, että on olemassa joukko, joka sisältää kaikki reaaliluvut ja että nämä luvut voidaan luetella jossakin järjestyksessä. Tämän oletuksen varaan hän rakentaa diagonaalimenetelmänsä ja osoittaa, että näin muodostetusta listasta voidaan konstruoida uusi luku, joka ei ole listalla. Tästä hän päättelee, että reaalilukujen joukko ei voi olla numeroituva.

Mutta huomio: tämä on silti rakenteellisesti konstruktiivinen menetelmä, sillä se tuottaa eksplisiittisesti uuden luvun annetun listan perusteella. Jos metodi ei olisi konstruktiivinen, diagonaalilukua ei voitaisi määritellä lainkaan.

Numeroituvuus tarkoittaa täsmälleen sitä, että joukon alkiot voidaan asettaa yksikäsitteiseen vastaavuuteen luonnollisten lukujen kanssa – eli ne voidaan luetella. Jos tätä ei voi tehdä, joukko ei ole numeroituva.

Tähän liittyy kuitenkin syvempi ongelma: jo pelkkä luonnollisten lukujen äärettömän joukon olemassaolo edellyttää äärettömyysaksioomaa. Se aksiooma väittää, että on olemassa joukko, joka sisältää tyhjän joukon ja on suljettu “seuraajan” suhteen. Toisin sanoen: se olettaa äärettömyyden olemassa olevaksi.

Mutta jos hyväksymme tämän oletuksen, hyväksymme samalla sen, että “kaikki” luonnolliset luvut ovat olemassa yhtenä kokonaisuutena. Juuri tätä minä en voi hyväksyä – sillä sama logiikka, jolla Cantor todistaa reaalilukujen epänumeroituvuuden, voidaan soveltaa luonnollisiin lukuihin itseensä.

f(0)=a konstruktio = a
f(1)=b konstruktio = a+b
f(2)=c konstruktio = a+b+c
f(3)=d konstruktio = a+b+c+d
f(4)=e konstruktio = a+b+c+d+e
f(5)=f konstruktio = a+b+c+d+e+f
...

Tämä uusi luku on aina suurempi kuin yksikään listassa siihen mennessä esiintyneistä. Näin syntyy luku, jota ei vielä ollut listassa – aivan kuten Cantorin diagonaalissa syntyy luku, jota ei ollut reaalilukujen listalla.

Tässä kohdin esitetään usein vastaväite: “Mutta tuo summa a+b+c+d+… on ääretön, eikä siis kuulu N:ään.” Tämä kuulostaa ensi silmäyksellä järkevältä, mutta sisältää piilossa olevan oletuksen – nimittäin sen, että äärettömän luonnollisten lukujen lista voitaisiin todella käydä läpi.

Jokaisessa vaiheessa luku on kuitenkin edelleen äärellinen, koska luonnollisten lukujen yhteenlasku on aina äärellinen. Missä vaiheessa tästä luvusta sitten muka tulee ääretön? Listassa ei ole koskaan ääretöntä lukua, mutta jos hyväksymme äärettömyysaksiooman, lista tuottaa äärettömän luvun vain siksi, että olemme aksioomassa jo etukäteen olettaneet sen olemassaoloksi.

Näin ollen voimassa ovat samanaikaisesti kaksi ristiriitaista lausetta:
– Luku on äärellinen.
– Luku on ääretön.
RR.

Jos siis Cantorin logiikka on oikein reaalilukujen kohdalla, sen on oltava oikein myös luonnollisille luvuille. Mutta silloin päädymme järjettömään johtopäätökseen: luonnollisten lukujen joukko ei ole numeroituva. Tästä seuraa, että jos ääretön oletetaan olemassa olevaksi, syntyy väistämättä ristiriita. Jos taas ääretöntä ei oleteta, ristiriitaa ei synny lainkaan.

Peanon aksioomat kuvaavat, miten äärettömyys toimisi, jos se olisi olemassa. Äärettömyysaksiooma väittää, että se on olemassa. Mutta jos sitä yritetään konstruoida, se osoittautuu itseensä viittaavaksi paradoksiksi.

[Keckman]

Tämä on blogikirjoituksesi isoin virhe: et sovella Cantorin menetelmää. Olen nyt jo lukuisia kertoja selittänyt miksi menetelmäsi ei vastaa Cantorin diagonaaliargumenttia enkä asiaa toista, kun se olisi jankuttamista.

Sinäkö se täällä olet Matematiikkatieteen Ylijumala ja Päätuomari sanomaan - jankuttamaan - mikä on totta ja mikä ei ole totta matematiikkaa koskevissa lauseissa? Vaivauduin keräämään alle noita sun useita kertoja jankuttamiasi selityksiä ja ne ovat kaikki virheellisiä.

"Cantorin diagonaaliargumentti ei ole sama kuin edellä kuvailemasi. Cantorin argumentissa muodostetaan yksi tietty reaaliluku, joka puuttuu kaikista luettelon luvuista. Se ei puutu vain jo muodostetuista luvuista, vaan aivan kaikista senkin jälkeen, kun koko luettelo on muodostettu."

Ei. Väärin. Minunkin olio a+b+c+d+... - tai voisin yhtä hyvin ottaa käyttöön olion a*b*c*d*... tai olion a^b^c^d^... - puuttuu listalta sen jälkeen kun kaikki listan alkiot on käyty läpi. Se olio on kaikkia lukuja a,b,c,d,... suurempi.

Jokaisessa listan vaiheessa se luku on äärellinen. Se muuttuu äärettömäksi vain siinä tapauksessa, että ääretön lista voitaisiin käydä läpi. Se olio on aina äärellinen jokaisessa listan vaiheessa. Siitä tulee ääretön vain jos ääretön lista voitaisiin käydä läpi, mutta se johtaa tilanteeseen, että jonkin äärellisen pitäisi olla ääretöntä. RR.

"Cantorin argumentissa löydetään luku, joka ei kuulu muodostettuun luetteloon senkään jälkeen kun koko luettelo on muodostettu."

Kyllä. Löydetään luku, jos oletetaan, että ääretön lista voitaisiin käydä läpi ja että olisi olemassa olioita, joilla on äärettömästi desimaaleja. Mutta niin minunkin prosessi tuottaa olion, joka jo määritelmän mukaisesti ei voi kuulua N:ään kahdesta syystä:

1) Se on listan, joka sisälsi mukamas kaikki N:n alkiot, jokaista alkiota suurempi.
2) Se olisi ääretön, jos lista voitaisiin käydä kokonaan läpi. Ja ääretön ei kuulu N:ään.
=> Se olio on listassa ollessaan aina äärelllinen.
=> Ääretöntä listaa ei voida käydä läpi, koska se tuottaisi olion, joka on sekä äärellinen että äääretön.

"Sinun argumentissasi ei löydetä lukua, joka ei kuuluisi koko luetteloon. Toisin sanoen menetelmäsi ei tuota sellaista luonnollista lukua, joka poikkeaisi kaikista luetteloiduista luonnollisista luvuista. Menetelmäsi osoittaa vain sen, että jokin luku ei kuulu luettelon alkuosaan, mutta se ei osoita sitä, etteikö luku kuuluisi luettelon myöhemiin osiin."

Kaikki menetelmäni tuottamat luvut ovat äärellisiä ja kuuluvat joka vaiheessa N:ään - paitsi siinä absurdissa hyppäyksessä äärellisestä äärettömään.

Minähän protestoin Cantorin tapaa konstruoida sitä yhtä puuttuvaa lukua listasta siten, että siitäkin voidaan sanoa: Cantorin menetelmä täydennettynä minun menetelmällä tuottaa luvun, joka ei vielä ole ollut listassa, mutta joka vaiheessa änkeää itsensä seuraavaksi. Tapa oli tämä:

Aina luvun r(n) kohdalla konstruoitu luku r siirretään seuraavaksi ja sitä seuraavia yhden pykälän eteenpäin.

r(0)=0,89737775667080080857467873875759757587462856567674...
r(1)=0,9 = Cantorin konstruoima luku.
r(2)=0,5767747387376876764474874476086083348685378588860868...
r(3)=0,98 = Cantorin konstruoima luku.
r(4)=0,567800000000000000000000000000000000000000000000000000
r(5)=0,988 = Cantorin konstruoima luku.
r(6)=0,45466745453679885796799779767766796708204820099599496...
r(7)=0,9887 = Cantorin konstruoima luku.

Kun alkuperäinen lista siis oli tuossa:

r(0)=0,89737775667080080857467873875759757587462856567674...
r(1)=0,5767747387376876764474874476086083348685378588860868...
r(2)=0,56780000000000000000000000000000000000000000000000000...
r(3)=0,45466745453679885796799779767766796708204820099599496...

"Cantor löytää reaaliluvun, joka ei ole listalla vaikka listan muodostamista jatkettaisiin maailman tappiin asti. Sinun argumenttisi sen sijaan osoittaa vain sen, että jokin luku ei ole vielä listalla. Se ei osoita etteikö luku ilmestyisi listalle myöhemmin, kun listan muodostaminen jatkuu."

Cantorin tapa tuottaa luku täydennettynä minun yo. kritiikillä ei tuota lukua, mikä siitä puuttuu, koska joka vaiheessa se änkeää itsensä seuraavaksi.

"Algoritmissasi ei ole stop-käskyä, jossa se pysähtyisi. Listan muodostaminen jatkuu pysähtymättä, ja jokainen muodostamasi luku tulee listalle jossain vaiheessa. Ihan helposti näet tuon itsekin, kun katsot listasi muodostamisen sääntöjä."

Niin. Jos algoritmisesti ajatellaan, niin ei ääretöntä listaa läpikäyvässä algoritmissa voikaan olla stop käskyä.

"Et käy. Väität, että saat jossain kohti luvun, jonka ei olisi mahdollista esiintyä koko listalla. Väitteesi on väärin, ja sen pystyy näkemään jopa maalaisjärjellä. Ei tarvita edes lukuteorian jatkokurssia."

Sinulla on päässä tuo, että tarkastelisin vain taaksepäin. Ja että se voi olla edessä päin. Mutta niinpä voi Cantorinkin konstruoima luku olla aina heti seuraavana, kun se täydennetään Keckmanin tavalla.

[QS]

Jokaisessa vaiheessa luku on kuitenkin edelleen äärellinen, koska luonnollisten lukujen yhteenlasku on aina äärellinen. Missä vaiheessa tästä luvusta sitten muka tulee ääretön? Listassa ei ole koskaan ääretöntä lukua, mutta jos hyväksymme äärettömyysaksiooman, lista tuottaa äärettömän luvun vain siksi, että olemme aksioomassa jo etukäteen olettaneet sen olemassaoloksi.

Sulla on kaikki joukko-opin käsitteet aivan sekaisin. Nyt väität, että matematiikassa ääretön olisi luku, joka kuuluu johonkin peruslukujoukkoon. No ei tietenkään ole luku. Korkeintaan mielikuvituksellisissa kekkulijoukoissa, joiden suurimmat alkiot eivät ole mielivaltaisen suuria vaan kekkulivaltaisen isoja. Sun pitäisi korjata blogiasi siten, että lisäät matematiikasta lainaamiesi käsitteiden eteen kekkuli-etuliitteen.

Tuo edellinen viestisi on niin täynnä väärin ymmärrettyjä käsitteitä, että sen voi luokitella "not even wrong".

[Keckman]

Jokaisessa vaiheessa luku on kuitenkin edelleen äärellinen, koska luonnollisten lukujen yhteenlasku on aina äärellinen. Missä vaiheessa tästä luvusta sitten muka tulee ääretön? Listassa ei ole koskaan ääretöntä lukua, mutta jos hyväksymme äärettömyysaksiooman, lista tuottaa äärettömän luvun vain siksi, että olemme aksioomassa jo etukäteen olettaneet sen olemassaoloksi.

Sulla on kaikki joukko-opin käsitteet aivan sekaisin. Nyt väität, että matematiikassa ääretön olisi luku, joka kuuluu johonkin peruslukujoukkoon. No ei tietenkään ole luku. Korkeintaan mielikuvituksellisissa kekkulijoukoissa, joiden suurimmat alkiot eivät ole mielivaltaisen suuria vaan kekkulivaltaisen isoja. Sun pitäisi korjata blogiasi siten, että lisäät matematiikasta lainaamiesi käsitteiden eteen kekkuli-etuliitteen.

Tuo edellinen viestisi on niin täynnä väärin ymmärrettyjä käsitteitä, että sen voi luokitella "not even wrong".

En väitä tietenkään, että ääretön olisi luku vaan päädyin sellaiseen ristiriitaiseen tilanteeseen, missä jokin olio oli yhtä aikaa äärellinen ja ääretön, eli päädyin ristiriitaan olettamalla äärettömän, mistä seuraa, että ääretön on ristiriitainen käsite.

Sulla on todistuksen logiikka sekaisin.

[Keckman]

Tuo edellinen viestisi on niin täynnä väärin ymmärrettyjä käsitteitä, että sen voi luokitella "not even wrong".

Tyydyn voittamaan sut tieteellisessä debatissa. Tulet sen vielä myöntämään, kunhan vähän viisastut.

sääntöjen vastaista sisältöä poistettu / -moderator

[QS]

Jokaisessa vaiheessa luku on kuitenkin edelleen äärellinen, koska luonnollisten lukujen yhteenlasku on aina äärellinen. Missä vaiheessa tästä luvusta sitten muka tulee ääretön? Listassa ei ole koskaan ääretöntä lukua, mutta jos hyväksymme äärettömyysaksiooman, lista tuottaa äärettömän luvun vain siksi, että olemme aksioomassa jo etukäteen olettaneet sen olemassaoloksi.

Sulla on kaikki joukko-opin käsitteet aivan sekaisin. Nyt väität, että matematiikassa ääretön olisi luku, joka kuuluu johonkin peruslukujoukkoon. No ei tietenkään ole luku. Korkeintaan mielikuvituksellisissa kekkulijoukoissa, joiden suurimmat alkiot eivät ole mielivaltaisen suuria vaan kekkulivaltaisen isoja. Sun pitäisi korjata blogiasi siten, että lisäät matematiikasta lainaamiesi käsitteiden eteen kekkuli-etuliitteen.

Tuo edellinen viestisi on niin täynnä väärin ymmärrettyjä käsitteitä, että sen voi luokitella "not even wrong".

En väitä tietenkään, että ääretön olisi luku vaan päädyin sellaiseen ristiriitaiseen tilanteeseen, missä jokin olio oli yhtä aikaa äärellinen ja ääretön, eli päädyin ristiriitaan olettamalla äärettömän, mistä seuraa, että ääretön on ristiriitainen käsite.

Varmasti päädyt tuohon kekkulivaltaiseen lopputulokseen, kun joukko-opin käsitteistösi on aivan sekaisin.

[Keckman]

Jokaisessa vaiheessa luku on kuitenkin edelleen äärellinen, koska luonnollisten lukujen yhteenlasku on aina äärellinen. Missä vaiheessa tästä luvusta sitten muka tulee ääretön? Listassa ei ole koskaan ääretöntä lukua, mutta jos hyväksymme äärettömyysaksiooman, lista tuottaa äärettömän luvun vain siksi, että olemme aksioomassa jo etukäteen olettaneet sen olemassaoloksi.

Sulla on kaikki joukko-opin käsitteet aivan sekaisin. Nyt väität, että matematiikassa ääretön olisi luku, joka kuuluu johonkin peruslukujoukkoon. No ei tietenkään ole luku. Korkeintaan mielikuvituksellisissa kekkulijoukoissa, joiden suurimmat alkiot eivät ole mielivaltaisen suuria vaan kekkulivaltaisen isoja. Sun pitäisi korjata blogiasi siten, että lisäät matematiikasta lainaamiesi käsitteiden eteen kekkuli-etuliitteen.

Tuo edellinen viestisi on niin täynnä väärin ymmärrettyjä käsitteitä, että sen voi luokitella "not even wrong".

En väitä tietenkään, että ääretön olisi luku vaan päädyin sellaiseen ristiriitaiseen tilanteeseen, missä jokin olio oli yhtä aikaa äärellinen ja ääretön, eli päädyin ristiriitaan olettamalla äärettömän, mistä seuraa, että ääretön on ristiriitainen käsite.

Varmasti päädyt tuohon kekkulivaltaiseen lopputulokseen, kun joukko-opin käsitteistösi on aivan sekaisin.

Ei. Kun päädyn siihen siksi, että äärettömyyden hyväksyvä joukko-oppi on aivan sekaisin.

[Disputator]

Juu, kyllä nyt on Keckmanilla logiikka hieman sekaisin. Muistan vastaavan keskustelun joltain edesmenneeltä palstalta ja silloinkin keskustelu sujui samalla tavalla kuin nyt...

Keckulilla on kuitenkin hyvää yritystä, ja siitä pisteet annettakoon.

[Keckman]

Tuo edellinen viestisi on niin täynnä väärin ymmärrettyjä käsitteitä, että sen voi luokitella "not even wrong".

QS:n väärinymmärrykset.

QS:n usein toistama väite on tämä:

"Sun menetelmä osoittaa vain, että luku puuttuu alkuosasta, ei koko luettelosta.”

Mutta tässä argumentti menee harhaan. Nimittäin:

1. Cantorin todistus edellyttää, että koko ääretön lista on käyty läpi.

Vasta kun lista on “täysin muodostettu” (mikä on ääretön prosessi), voidaan sanoa, että diagonaaliluku r ei ole missään luettelon kohdassa.

Täsmälleen sama ehto pätee minun konstruoimaani lukuun.

Jokaisessa äärellisessä vaiheessa se on:

- äärellinen
- suurempi kuin kaikki siihen asti listatut luvut
- mutta mahdollisesti jossain myöhemmässä kohdassa

Vasta hypoteettisen “kokonaan käydyn äärettömän listan” jälkeen voidaan väittää, että

- Cantorin r ei ole missään listalla
- minun i (summa a+b+c+…) ei ole missään listalla

Eli tässä mielessä QS vaatii minun argumentilleni tiukempia ehtoja kuin Cantorin omalle todistukselle.

2. Keskeinen pointtini (jota QS ei näytä ymmärtävän)
Jokaisessa äärellisessä vaiheessa oma konstruoitu summani on äärellinen.
Se “muuttuisi äärettömäksi” vain jos hyväksytään, että ääretön lista voidaan käydä läpi.

Mutta jos näin tehdään, syntyy ristiriita:

- luku on äärellinen jokaisessa vaiheessa
- mutta muuttuu äärettömäksi, kun koko ääretön prosessi “suoritetaan”

Tämä on täsmälleen sama rakenteellinen ongelma, jota Cantor ei käsittele — hän vain olettaa, että ääretön lista on olemassa kokonaisuutena.

3. “Keckmanin korjausliike” Cantorin listaan

QS sanoo: "Cantorin diagonaaliluku ei koskaan ilmesty listalle."

Mutta tämä ei pidä paikkaansa, jos diagonaaliluku sijoitetaan joka vaiheessa seuraavaksi — kuten minä teen:

r(0)
Cantor-luku r₀'
r(1)
Cantor-luku r₁'
r(2)
Cantor-luku r₂'
...

Tällä tavoin mikä tahansa diagonaaliluku ilmestyy aina listalle.
Tämä osoittaa, että väite “diagonaaliluku ei voi olla listalla” ei perustu menetelmän rakenteeseen, vaan siihen, että Cantor kieltää etukäteen listan täydentämisen.

4. Yhteenvetona

QS toistaa samaa väitettä (“menetelmäni ei ole Cantorin menetelmä”), mutta antaa tälle väitteelle perusteita, jotka joko:

- eivät päde Cantoriin itsekään, tai
- kieltävät sen logiikan, jonka varaan Cantorin todistus itse rakentuu.

Minun argumenttini on yksinkertainen:

Jos Cantorin logiikka hyväksytään reaalilukujen kohdalla, sama logiikka tekee luonnollisten lukujen joukosta epä-numeroutuvan.

Jos tämä halutaan välttää, täytyy hyväksyä, että äärettömän “koko listan läpikäyntiä” ei voi olettaa perustana diagonaaliluvun olemassaololle.

[QS]

Cantorin todistus edellyttää, että koko ääretön lista on käyty läpi.

Höpö höpö. Ei edellytä. Riittää, että \(\exists I : \varnothing \in I \wedge \forall a(a \in I \Rightarrow a \cup \{a\} \in I)\). Kun \(I\) on olemassa, voidaan muodostaa lukujoukkoja, joita ei tarvitse konkreettisesti luetteloida, kuten ei tarvitse myöskään joukkoa \(I\).