Hm. Erotellaanpa:
Riemann-integraali:
$$\int_0^{\pi/2} (\sin x)^\varepsilon dx \approx \frac{\pi}{2}, \,\text{kun } \varepsilon \to 0$$
Tulointegraali, eksponentiaalinen integraali:
$$\prod_{x=0}^{\pi/2} \sin x = \exp\left(\int_0^{\pi/2} \ln (\sin x) , dx\right) = 2^{-\pi/2}$$
Hassuttelua on käyttää Riemann-integraalin merkintätapaa, kun rehellinen tulointegraali oli tarkoitettua. Jos käyttää \(\int_{}\), kyllä sen pitäisi olla tuossa \(\exp()\) -muodossa - tai käytettävä \(\prod_{}\).
Hienorakennevakio vapausasteista: (1⁰+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹
Tässä vastineeksi tehtävää, jossa \(dx\) onkin alaindeksinä. 
Olkoon \((T_t)_{t\ge 0}\) vahvasti jatkuva kontraktiosemiryhmä Hilbert-avaruudella \(H\). Toisin sanoen oletetaan, että
\(
T_0 = I,\quad
T_{s+t} = T_s T_t \quad (\forall\, s,t \ge 0),\quad
\|T_t\| \le 1 \quad (\forall\, t \ge 0),
\)
ja jokaiselle \(\psi \in H\) funktio \(t \mapsto T_t \psi\) on jatkuva (vahva jatkuvuus).
Haluamme nyt antaa merkinnälle
\(
\prod_0^1 T_{dx}
\)
tarkan merkityksen tulointegraalin avulla.
Olkoon \(\mathcal{P}\) jaotus välillä \([0,1]\):
\(
\mathcal{P} : 0 = x_0 < x_1 < \dots < x_n = 1,
\)
ja merkitään \(\Delta x_k = x_k - x_{k-1}\) ja \(|\mathcal{P}| = \max_k \Delta x_k\). Määritellään
\(
P(\mathcal{P}) := T_{\Delta x_n} \cdots T_{\Delta x_2} T_{\Delta x_1}.
\)
Jos raja \(\lim_{|\mathcal{P}|\to 0} P(\mathcal{P})\) on olemassa (esimerkiksi operaattorinormissa), merkitään sitä muodolla
\(
\prod_0^1 T_{dx}.
\)
- Osoita semiryhmän ominaisuuksista, että kaikilla jaotuksilla \(\mathcal{P}\) pätee \(P(\mathcal{P}) = T_1\).
- Päättele, mitä raja-arvo \(\displaystyle \prod_0^1 T_{dx}\) on.
- Miten määrittelet analogisesti yleistyksen \(\prod_a^b T_{dx}\) välille \([a,b]\), ja mikä sen arvo on semiryhmäolettamuksilla?
- Olettaen lisäksi, että semiryhmällä on generaattori \(A\) siten, että \(\frac{d}{dt} T_t \psi = A T_t \psi\) kaikilla \(\psi \in H\) ja \(t \ge 0\), sopivassa mielessä: selitä, miten formaali merkintä \(T_{dx} \approx I + A\,dx\) liittyy edellä määriteltyyn tulointegraaliin \(\displaystyle \prod_0^1 T_{dx}\) ja differentiaaliyhtälöön \(\frac{d}{dt}T_t = A T_t\).
Olkoon \((T_t)_{t\ge 0}\) vahvasti jatkuva kontraktiosemiryhmä Hilbert-avaruudella \(H\). Toisin sanoen oletetaan, että
\(
T_0 = I,\quad
T_{s+t} = T_s T_t \quad (\forall\, s,t \ge 0),\quad
\|T_t\| \le 1 \quad (\forall\, t \ge 0),
\)
ja jokaiselle \(\psi \in H\) funktio \(t \mapsto T_t \psi\) on jatkuva (vahva jatkuvuus).
Haluamme nyt antaa merkinnälle
\(
\prod_0^1 T_{dx}
\)
tarkan merkityksen tulointegraalin avulla.
Olkoon \(\mathcal{P}\) jaotus välillä \([0,1]\):
\(
\mathcal{P} : 0 = x_0 < x_1 < \dots < x_n = 1,
\)
ja merkitään \(\Delta x_k = x_k - x_{k-1}\) ja \(|\mathcal{P}| = \max_k \Delta x_k\). Määritellään
\(
P(\mathcal{P}) := T_{\Delta x_n} \cdots T_{\Delta x_2} T_{\Delta x_1}.
\)
Jos raja \(\lim_{|\mathcal{P}|\to 0} P(\mathcal{P})\) on olemassa (esimerkiksi operaattorinormissa), merkitään sitä muodolla
\(
\prod_0^1 T_{dx}.
\)
- Osoita semiryhmän ominaisuuksista, että kaikilla jaotuksilla \(\mathcal{P}\) pätee \(P(\mathcal{P}) = T_1\).
- Päättele, mitä raja-arvo \(\displaystyle \prod_0^1 T_{dx}\) on.
- Miten määrittelet analogisesti yleistyksen \(\prod_a^b T_{dx}\) välille \([a,b]\), ja mikä sen arvo on semiryhmäolettamuksilla?
- Olettaen lisäksi, että semiryhmällä on generaattori \(A\) siten, että \(\frac{d}{dt} T_t \psi = A T_t \psi\) kaikilla \(\psi \in H\) ja \(t \ge 0\), sopivassa mielessä: selitä, miten formaali merkintä \(T_{dx} \approx I + A\,dx\) liittyy edellä määriteltyyn tulointegraaliin \(\displaystyle \prod_0^1 T_{dx}\) ja differentiaaliyhtälöön \(\frac{d}{dt}T_t = A T_t\).
Hienorakennevakio vapausasteista: (1⁰+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹
No niin tämä mysteerio! Tässä voidaan lähteä liikkeelle Riemannin integraalin määritelmästä välille [a,b]
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\ \Delta x_k\)
mikä on ihan oikein määritelty. Seuraavaksi internetin veijari tökkäisee dx:n vähän ylemmäs, eli eksponentiksi. Sehän tarkoittaa (tietysti
) tulo-integraalia, jonka voi määritellä\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)^{dx} =\lim_{n \to \infty} \prod_{k=1}^{n} f(x_k)^{\Delta x_k}\)
Niin, no, onhan tuo looginen. Tosin logiikan ymmärtäminen jää lukijan vastuulle. Jos määritelmän hyväksyy sellaisenaan (periaattessa jopa lähes oikein), niin voidaan jatkaa. Eksponentit on molemmin puolin, joten otetaan logaritmi
\(\begin{align}
\ln\left(\int_{a}^{b}f(x)^{dx}\right) &= \ln\left(\lim_{n \to \infty} \prod_{k=1}^{n} f(x_k)^{\Delta x_k}\right)\\
&=\lim_{n \to \infty}\left(\ln \prod_{k=1}^{n} f(x_k)^{\Delta x_k}\right)
\end{align}\)
Käyttämällä identiteettiä \(\log(ab) =\log a + \log b\) tuo ikävä tulo \(\Pi\) muuttuukin summaksi \(\Sigma\), ja viimeinen rivi voidaan kirjoittaa
\(\displaystyle \ln\left(\int_{a}^{b}f(x)^{dx}\right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(f(x_k)^{\Delta x_k}\right)\)
Logaritmille pätee myös \(\log a^n =n\log a\), joten voidaankin kirjoittaa
\(\displaystyle \ln\left(\int_{a}^{b}f(x)^{dx}\right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left(\ln f(x_k)\right) \Delta x_k\)
Oikea puoli on Riemannin integraalin määritelmä, joten
\(\displaystyle \ln\left(\int_{a}^{b}f(x)^{dx}\right) = \int_{a}^{b} \ln\ f(x)\ dx\)
ja tästä sitten seuraa (rumpujen pärinää)
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)^{dx} = \exp\left(\int_{a}^{b} \ln\ f(x)\ dx\right)\).
Loppu onkin soveltamista. Lasketaan tehtävän integraali, kun \(f(x) = \sin x\) (en kirjoita auki, mutta on oikein)
\(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \ln(\sin x)dx = -\frac \pi 2 \ln 2 = \frac \pi 2 \ln(\frac 1 2)\)
ja sijoitetaan
\(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^{dx} x = e^{\frac \pi 2 \ln(\frac 1 2)} = e^{\ln(\frac 1 2)^{\pi/2}} = \left(\frac 1 2\right)^{\pi/2} = \frac{1}{\sqrt{2^\pi}}\)
Että jotain on oikeinkin laskettu, mutta notaatio on hassuttelua. Tehtävän oikeampi notaatio (epäortodoksinen tosin) olisi
\(\displaystyle \prod_{0}^{\pi/2} (\sin x)\ ^{dx}\)
Tätä kutsutaan nimellä geometrinen integraali, joka on eräs tulointegraali. Yleisellä tasolla kyse on siitä, että integraali voidaan ajatella "infinitesimaalina summana"
\(\displaystyle \sum_{i=a}^{b} f(i)\quad \rightsquigarrow \quad \int_{a}^{b} f(x)dx\)
ja geometrinen integraali voidaan ajatella "infinitesimaalina tulona"
\(\displaystyle \prod_{i=a}^{b} f(i)\quad \rightsquigarrow \quad \prod_{a}^{b} f(x)^{dx}\)
Kiinnostuin "integraalin" notaatiosta siksi, että pystyin kuvittelemaan 1900-luvun alun kvanttikenttäteoreetikon, joka on saanut Dysonin sarjansa niin perhanan sotkuun, että integraali sievenee saman näköiseksi kuin tehtävässä
===
Yleistä tulointegraalista: https://en.wikipedia.org/wiki/Product_integral
Alkavaa iltapäivää!
No olipas hyvä tuo sun selitys tuolle mystiselle "integraalille":
\(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^{dx}x\),
mikä ei auennut mulle mitenkään.
Piti ihan katsoa, mistä on kysymys ja jonkinlainen yksinkertaistettu problematiikka tulee myös vastaan kun ratkaistaan differentiaaliyhtälöä:
\(x'(t)= A(t)x(t)\),
missä \(x(t)\in \mathbb{R}^n\) ja A(t) on \(n\times n\) matriisi, joka riippuu parametrista t. Jos A on vakiomatriisi \(A(t)=A_0,\) niin ratkaisu on, kun \(x(0)=x_0\):
\(x(t)= e^{A_0 t}x_0\).
Jos A riippuu parametrista t, mutta eri parametrin arvoilla t ja t' matriisit \(A(t)\) ja\( A(t')\) kommutoivat, on ratkaisu samanlainen, eksponentissa on vain matriisin A(t) aikaintegraali:
\(x(t)= e^{\int_0^t A(t) dt}x_0\).
Kolmas tapaus on se, että matriisit A(t) ja A(t') eivä kommutoi ja silloin saadaan se Dyson-sarjan vastine, josta en kyllä ymmärä mitään. Mutta on tosiaankin mielenkiintoista, että antamasi tulointegraali liittyy tälläisiin juttuihin. Ja oli hyvä Wikipedialinkki, thanks!
No olipas hyvä tuo sun selitys tuolle mystiselle "integraalille":
\(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^{dx}x\),
mikä ei auennut mulle mitenkään.
Sun esitys oli oikein hyvä ja ymmärrettävä. Toki siinä on jotain matemaattista detaljia matkan varrella, mutta lopputulos on varmastikin oikea sopivilla funktioilla \(f\).QS kirjoitti:...
Oikea puoli on Riemannin integraalin määritelmä, joten
\(\displaystyle \ln\left(\int_{a}^{b}f(x)^{dx}\right) = \int_{a}^{b} \ln\ f(x)\ dx\)
ja tästä sitten seuraa (rumpujen pärinää)
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)^{dx} = \exp\left(\int_{a}^{b} \ln\ f(x)\ dx\right)\).
Dysonin sarja kuulosti hämärästi tutulta ja löytyihän se sitten ihan omasta kvanttimekaniikan kirjasta, jossa lasketaan Schrödingerin yhtälön aikakehitysoperaattorin \(U(t,t_0)\) lauseketta annetulla Hamiltonin operaattorilla H. Siis ilman kvanttikenttäteoriaa.QS kirjoitti:Kiinnostuin "integraalin" notaatiosta siksi, että pystyin kuvittelemaan 1900-luvun alun kvanttikenttäteoreetikon, joka on saanut Dysonin sarjansa niin perhanan sotkuun, että integraali sievenee saman näköiseksi kuin tehtävässä
Piti ihan katsoa, mistä on kysymys ja jonkinlainen yksinkertaistettu problematiikka tulee myös vastaan kun ratkaistaan differentiaaliyhtälöä:
\(x'(t)= A(t)x(t)\),
missä \(x(t)\in \mathbb{R}^n\) ja A(t) on \(n\times n\) matriisi, joka riippuu parametrista t. Jos A on vakiomatriisi \(A(t)=A_0,\) niin ratkaisu on, kun \(x(0)=x_0\):
\(x(t)= e^{A_0 t}x_0\).
Jos A riippuu parametrista t, mutta eri parametrin arvoilla t ja t' matriisit \(A(t)\) ja\( A(t')\) kommutoivat, on ratkaisu samanlainen, eksponentissa on vain matriisin A(t) aikaintegraali:
\(x(t)= e^{\int_0^t A(t) dt}x_0\).
Kolmas tapaus on se, että matriisit A(t) ja A(t') eivä kommutoi ja silloin saadaan se Dyson-sarjan vastine, josta en kyllä ymmärä mitään. Mutta on tosiaankin mielenkiintoista, että antamasi tulointegraali liittyy tälläisiin juttuihin. Ja oli hyvä Wikipedialinkki, thanks!
SI Resurrection!
Juu, painoin väärää nappia ja lähetin viestin uudestaan, mutta oikeastaan hyvä, sillä se mun alhaalla edit-kommentoinnissa näkyvä jäi näkyviin.
edit: ihmettelin vaan, miten tuo ylläoleva \(U(t,t_0\)) näkyy lähettämisen jälkeen, siinä on jotain ylimääräistä mukana, nyt se poistui esikatselussa, kun lisäsin tämän editin, en siis muokannut mitenkään alkuperäistä...Disputator kirjoitti: ↑22.11.2025, 12:49Alkavaa iltapäivää!
No olipas hyvä tuo sun selitys tuolle mystiselle "integraalille":
\(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^{dx}x\),
mikä ei auennut mulle mitenkään.
Sun esitys oli oikein hyvä ja ymmärrettävä. Toki siinä on jotain matemaattista detaljia matkan varrella, mutta lopputulos on varmastikin oikea sopivilla funktioilla \(f\).QS kirjoitti:...
Oikea puoli on Riemannin integraalin määritelmä, joten
\(\displaystyle \ln\left(\int_{a}^{b}f(x)^{dx}\right) = \int_{a}^{b} \ln\ f(x)\ dx\)
ja tästä sitten seuraa (rumpujen pärinää)
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)^{dx} = \exp\left(\int_{a}^{b} \ln\ f(x)\ dx\right)\).
Dysonin sarja kuulosti hämärästi tutulta ja löytyihän se sitten ihan omasta kvanttimekaniikan kirjasta, jossa lasketaan Schrödingerin yhtälön aikakehitysoperaattorin \(U(t,t_0)\) lauseketta annetulla Hamiltonin operaattorilla H. Siis ilman kvanttikenttäteoriaa.QS kirjoitti:Kiinnostuin "integraalin" notaatiosta siksi, että pystyin kuvittelemaan 1900-luvun alun kvanttikenttäteoreetikon, joka on saanut Dysonin sarjansa niin perhanan sotkuun, että integraali sievenee saman näköiseksi kuin tehtävässä
Piti ihan katsoa, mistä on kysymys ja jonkinlainen yksinkertaistettu problematiikka tulee myös vastaan kun ratkaistaan differentiaaliyhtälöä:
\(x'(t)= A(t)x(t)\),
missä \(x(t)\in \mathbb{R}^n\) ja A(t) on \(n\times n\) matriisi, joka riippuu parametrista t. Jos A on vakiomatriisi \(A(t)=A_0,\) niin ratkaisu on, kun \(x(0)=x_0\):
\(x(t)= e^{A_0 t}x_0\).
Jos A riippuu parametrista t, mutta eri parametrin arvoilla t ja t' matriisit \(A(t)\) ja\( A(t')\) kommutoivat, on ratkaisu samanlainen, eksponentissa on vain matriisin A(t) aikaintegraali:
\(x(t)= e^{\int_0^t A(t) dt}x_0\).
Kolmas tapaus on se, että matriisit A(t) ja A(t') eivä kommutoi ja silloin saadaan se Dyson-sarjan vastine, josta en kyllä ymmärä mitään. Mutta on tosiaankin mielenkiintoista, että antamasi tulointegraali liittyy tälläisiin juttuihin. Ja oli hyvä Wikipedialinkki, thanks!
SI Resurrection!
Jes, tähän liittyy varmasti yksityiskohtia ja ehtoja kuten se, että geometrinen integraaliDisputator kirjoitti: ↑22.11.2025, 12:49Alkavaa iltapäivää!
No olipas hyvä tuo sun selitys tuolle mystiselle "integraalille":
\(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^{dx}x\),
mikä ei auennut mulle mitenkään.
Sun esitys oli oikein hyvä ja ymmärrettävä. Toki siinä on jotain matemaattista detaljia matkan varrella, mutta lopputulos on varmastikin oikea sopivilla funktioilla \(f\).QS kirjoitti:...
Oikea puoli on Riemannin integraalin määritelmä, joten
\(\displaystyle \ln\left(\int_{a}^{b}f(x)^{dx}\right) = \int_{a}^{b} \ln\ f(x)\ dx\)
ja tästä sitten seuraa (rumpujen pärinää)
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)^{dx} = \exp\left(\int_{a}^{b} \ln\ f(x)\ dx\right)\).
Dysonin sarja kuulosti hämärästi tutulta ja löytyihän se sitten ihan omasta kvanttimekaniikan kirjasta, jossa lasketaan Schrödingerin yhtälön aikakehitysoperaattorin \(U(t,t_0)\) lauseketta annetulla Hamiltonin operaattorilla H. Siis ilman kvanttikenttäteoriaa.QS kirjoitti:Kiinnostuin "integraalin" notaatiosta siksi, että pystyin kuvittelemaan 1900-luvun alun kvanttikenttäteoreetikon, joka on saanut Dysonin sarjansa niin perhanan sotkuun, että integraali sievenee saman näköiseksi kuin tehtävässä
Piti ihan katsoa, mistä on kysymys ja jonkinlainen yksinkertaistettu problematiikka tulee myös vastaan kun ratkaistaan differentiaaliyhtälöä:
\(x'(t)= A(t)x(t)\),
missä \(x(t)\in \mathbb{R}^n\) ja A(t) on \(n\times n\) matriisi, joka riippuu parametrista t. Jos A on vakiomatriisi \(A(t)=A_0,\) niin ratkaisu on, kun \(x(0)=x_0\):
\(x(t)= e^{A_0 t}x_0\).
Jos A riippuu parametrista t, mutta eri parametrin arvoilla t ja t' matriisit \(A(t)\) ja\( A(t')\) kommutoivat, on ratkaisu samanlainen, eksponentissa on vain matriisin A(t) aikaintegraali:
\(x(t)= e^{\int_0^t A(t) dt}x_0\).
Kolmas tapaus on se, että matriisit A(t) ja A(t') eivä kommutoi ja silloin saadaan se Dyson-sarjan vastine, josta en kyllä ymmärä mitään. Mutta on tosiaankin mielenkiintoista, että antamasi tulointegraali liittyy tälläisiin juttuihin. Ja oli hyvä Wikipedialinkki, thanks!
\(\displaystyle \prod_{a}^{b} f(x)^{dx} = \exp\left(\int_{a}^{b}\ln\ f(x)\ dx\right)\)
on voimassa (reaalilukujen joukossa) vain kun \(f(x) \gt 0\) ja \(f(x)\) on skalaarifunktio. Mutta jos jättää detaljit sikseen, niin asialla on yhteys Dysonin sarjaan. Tulointegraali voidaan yleistää aikariippuvalle ja ei-kommutoivalle operaattorille \(A(t)\), kun integraali määritellään
\(\displaystyle \mathcal P \prod_{a}^{b} (1+A(t)\ dt) := \lim_{\max \Delta t_i \to 0} \prod_{i=1}^{n} (1 + A(\xi_i)\Delta t_i)\)
missä \(1\) on yksikkömatriisi. Oikean puolen tulo \(\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\) on järjestetty siten, että pienin \(t\) on kauimpana oikealla, ja t kasvaa, kun tullaan lausekkeessa vasemmalle. Järjestys on ilmaistu symbolilla \(\mathcal P\). Operaattorien kertolasku on siis määritelty tiettyyn järjestykseen
\(\displaystyle \prod_{i=1}^{n} A_i := A_n\ A_{n-1} \dots A_1\)
ja aikaväliä pienennetään raja-arvolla kohiti nollaa, josta saadaan tulointegraalin määritelmä. Kvanttimekaniikan ja -kenttäteorian vuorovaikutus-kuvassa aikakehitys-operaattorille \(U(t,t_0)\) on voimassa
\(\displaystyle i\frac{d}{dt}\ U = H(t)\ U\)
Tuo \(U(t,t_0)\) on unitaarinen, jolle pätee lisäksi \(U(t_1,t_3) = U(t_1,t_2)U(t_2,t_3)\). Yhtälön ratkaisussa on mukana Hamilton H(t), joka ei kuitenkaan ole funktio, vaan sekin on operaattori. Yhtälön ratkaisu on aika-järjestetty operaattori
\(\displaystyle U(t,t_0) = \mathcal T \exp\left(-i\int_{t_0}^{t}H(t')\ dt'\right)\)
missä \(\mathcal T\) tarkoittaa koko oikean puolen lausekkeen järjestämistä t:n suhteen siten, että oikeanpuolimmaisin on pienimmän ajan \(t_0\) termi, ja vasemmalle tultaessa aika kasvaa kohti arvoa \(t\). Aika-järjestetty lauseke ja (ei-kommutatiivinen) tulointegraali ovat siis aivan samaa muotota
\(\displaystyle \mathcal T \exp\left(\int_{a}^{b} A(t)\ dt\right) = \mathcal P \prod_{a}^{b}(1 + A(t)\ dt)\)
Dysonin sarja on itse asiassa tämän lausekkeen "sarjakehitelmä"
\(\begin{align}
\displaystyle \mathcal T \exp\left(\int_{a}^{b} A(t)\ dt\right) = 1 &+ \int_{a}^{b} dt_1\ A(t_1) \\
&+ \int_{a}^{b} dt_1 \int_{a}^{t_1} dt_2\ A(t_1)\ A(t_2) \\
&+ \int_{a}^{b} dt_1 \int_{a}^{t_1} dt_2 \int_{a}^{t_2} dt_3\ A(t_1)\ A(t_2)\ A(t_3)\\
&+ \dots
\end{align}\)
En tiedä valaisiko tämä mitään, mutta ainakin periaatteessa Dysonin sarja on menetelmä, jolla voi laskea konkreettisesti ei-kommutatiivisen tulointegraalin (karkeasti ottaen "operaattorien Taylorin sarja"). Ja Feynmanin diagrammit ovat kenio, jolla Dysonin sarjan termit ilmaistaan graafeina.
Toivottavasti en tehnyt paljon virheitä, kun asia on melko hapokas jo notaationsakin puolesta.
Joo, on tuo mulle ainakin liian hapokasta. Mutta hyvä pitää mielessä, jos vastaavia juttuja tulee vastaan. Ja niitä kyllä on vastassa, ihan erilaisissa (yllättävissäkin) yhteyksissä. Periaatteessa siis, voinko kuitenkin olla vakuuttunut siitä, että nämä fysikaaliset sarjat vastaavat idealtaan sitä matriisien epäkommutatiivisuutta sarjoineen, ainakin likimäärin?QS kirjoitti: ↑22.11.2025, 15:41Jes, tähän liittyy varmasti yksityiskohtia ja ehtoja kuten se, että geometrinen integraaliDisputator kirjoitti: ↑22.11.2025, 12:49Alkavaa iltapäivää!
No olipas hyvä tuo sun selitys tuolle mystiselle "integraalille":
\(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^{dx}x\),
mikä ei auennut mulle mitenkään.
Sun esitys oli oikein hyvä ja ymmärrettävä. Toki siinä on jotain matemaattista detaljia matkan varrella, mutta lopputulos on varmastikin oikea sopivilla funktioilla \(f\).QS kirjoitti:...
Oikea puoli on Riemannin integraalin määritelmä, joten
\(\displaystyle \ln\left(\int_{a}^{b}f(x)^{dx}\right) = \int_{a}^{b} \ln\ f(x)\ dx\)
ja tästä sitten seuraa (rumpujen pärinää)
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)^{dx} = \exp\left(\int_{a}^{b} \ln\ f(x)\ dx\right)\).
Dysonin sarja kuulosti hämärästi tutulta ja löytyihän se sitten ihan omasta kvanttimekaniikan kirjasta, jossa lasketaan Schrödingerin yhtälön aikakehitysoperaattorin \(U(t,t_0)\) lauseketta annetulla Hamiltonin operaattorilla H. Siis ilman kvanttikenttäteoriaa.QS kirjoitti:Kiinnostuin "integraalin" notaatiosta siksi, että pystyin kuvittelemaan 1900-luvun alun kvanttikenttäteoreetikon, joka on saanut Dysonin sarjansa niin perhanan sotkuun, että integraali sievenee saman näköiseksi kuin tehtävässä
Piti ihan katsoa, mistä on kysymys ja jonkinlainen yksinkertaistettu problematiikka tulee myös vastaan kun ratkaistaan differentiaaliyhtälöä:
\(x'(t)= A(t)x(t)\),
missä \(x(t)\in \mathbb{R}^n\) ja A(t) on \(n\times n\) matriisi, joka riippuu parametrista t. Jos A on vakiomatriisi \(A(t)=A_0,\) niin ratkaisu on, kun \(x(0)=x_0\):
\(x(t)= e^{A_0 t}x_0\).
Jos A riippuu parametrista t, mutta eri parametrin arvoilla t ja t' matriisit \(A(t)\) ja\( A(t')\) kommutoivat, on ratkaisu samanlainen, eksponentissa on vain matriisin A(t) aikaintegraali:
\(x(t)= e^{\int_0^t A(t) dt}x_0\).
Kolmas tapaus on se, että matriisit A(t) ja A(t') eivä kommutoi ja silloin saadaan se Dyson-sarjan vastine, josta en kyllä ymmärä mitään. Mutta on tosiaankin mielenkiintoista, että antamasi tulointegraali liittyy tälläisiin juttuihin. Ja oli hyvä Wikipedialinkki, thanks!
\(\displaystyle \prod_{a}^{b} f(x)^{dx} = \exp\left(\int_{a}^{b}\ln\ f(x)\ dx\right)\)
on voimassa (reaalilukujen joukossa) vain kun \(f(x) \gt 0\) ja \(f(x)\) on skalaarifunktio. Mutta jos jättää detaljit sikseen, niin asialla on yhteys Dysonin sarjaan. Tulointegraali voidaan yleistää aikariippuvalle ja ei-kommutoivalle operaattorille \(A(t)\), kun integraali määritellään
\(\displaystyle \mathcal P \prod_{a}^{b} (1+A(t)\ dt) := \lim_{\max \Delta t_i \to 0} \prod_{i=1}^{n} (1 + A(\xi_i)\Delta t_i)\)
missä \(1\) on yksikkömatriisi. Oikean puolen tulo \(\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\) on järjestetty siten, että pienin \(t\) on kauimpana oikealla, ja t kasvaa, kun tullaan lausekkeessa vasemmalle. Järjestys on ilmaistu symbolilla \(\mathcal P\). Operaattorien kertolasku on siis määritelty tiettyyn järjestykseen
\(\displaystyle \prod_{i=1}^{n} A_i := A_n\ A_{n-1} \dots A_1\)
ja aikaväliä pienennetään raja-arvolla kohiti nollaa, josta saadaan tulointegraalin määritelmä. Kvanttimekaniikan ja -kenttäteorian vuorovaikutus-kuvassa aikakehitys-operaattorille \(U(t,t_0)\) on voimassa
\(\displaystyle i\frac{d}{dt}\ U = H(t)\ U\)
Tuo \(U(t,t_0)\) on unitaarinen, jolle pätee lisäksi \(U(t_1,t_3) = U(t_1,t_2)U(t_2,t_3)\). Yhtälön ratkaisussa on mukana Hamilton H(t), joka ei kuitenkaan ole funktio, vaan sekin on operaattori. Yhtälön ratkaisu on aika-järjestetty operaattori
\(\displaystyle U(t,t_0) = \mathcal T \exp\left(-i\int_{t_0}^{t}H(t')\ dt'\right)\)
missä \(\mathcal T\) tarkoittaa koko oikean puolen lausekkeen järjestämistä t:n suhteen siten, että oikeanpuolimmaisin on pienimmän ajan \(t_0\) termi, ja vasemmalle tultaessa aika kasvaa kohti arvoa \(t\). Aika-järjestetty lauseke ja (ei-kommutatiivinen) tulointegraali ovat siis aivan samaa muotota
\(\displaystyle \mathcal T \exp\left(\int_{a}^{b} A(t)\ dt\right) = \mathcal P \prod_{a}^{b}(1 + A(t)\ dt)\)
Dysonin sarja on itse asiassa tämän lausekkeen "sarjakehitelmä"
\(\begin{align}
\displaystyle \mathcal T \exp\left(\int_{a}^{b} A(t)\ dt\right) = 1 &+ \int_{a}^{b} dt_1\ A(t_1) \\
&+ \int_{a}^{b} dt_1 \int_{a}^{t_1} dt_2\ A(t_1)\ A(t_2) \\
&+ \int_{a}^{b} dt_1 \int_{a}^{t_1} dt_2 \int_{a}^{t_2} dt_3\ A(t_1)\ A(t_2)\ A(t_3)\\
&+ \dots
\end{align}\)
En tiedä valaisiko tämä mitään, mutta ainakin periaatteessa Dysonin sarja on menetelmä, jolla voi laskea konkreettisesti ei-kommutatiivisen tulointegraalin (karkeasti ottaen "operaattorien Taylorin sarja"). Ja Feynmanin diagrammit ovat kenio, jolla Dysonin sarjan termit ilmaistaan graafeina.
Toivottavasti en tehnyt paljon virheitä, kun asia on melko hapokas jo notaationsakin puolesta.
SI Resurrection!
Itse olen tullut siihen tulokseen, että kvanttikenttäteoriassa mistään ei voi olla täysin vakuuttunutDisputator kirjoitti: ↑22.11.2025, 17:17Periaatteessa siis, voinko kuitenkin olla vakuuttunut siitä, että nämä fysikaaliset sarjat vastaavat idealtaan sitä matriisien epäkommutatiivisuutta sarjoineen, ainakin likimäärin?
. Mutta jos oikein vapautuneeksi heittäytyy, niin likimäärin ehkä kyllä. Mitään vakavaa argumenttia asian todenperäisyydestä en kyllä uskalla antaa.Dysonin sarja ei kuitenkaan ole sama kuin kahden ei-kommutoivan matriisieksponenttin tulo \(e^X e^Y = e^Z\), missä matriisi Z voidaan kirjoittaa sarjana käyttämällä esimerkiksi Baker-Campbell-Hausdorff kaavaa. Ehkä näilläkin on yhteytensä, en osaa sanoa tarkemmin.
Löytyisikö tähän jotain vastailua?Eusa kirjoitti: ↑20.11.2025, 23:13Tässä vastineeksi tehtävää, jossa \(dx\) onkin alaindeksinä.
Olkoon \((T_t)_{t\ge 0}\) vahvasti jatkuva kontraktiosemiryhmä Hilbert-avaruudella \(H\). Toisin sanoen oletetaan, että
\(
T_0 = I,\quad
T_{s+t} = T_s T_t \quad (\forall\, s,t \ge 0),\quad
\|T_t\| \le 1 \quad (\forall\, t \ge 0),
\)
ja jokaiselle \(\psi \in H\) funktio \(t \mapsto T_t \psi\) on jatkuva (vahva jatkuvuus).
Haluamme nyt antaa merkinnälle
\(
\prod_0^1 T_{dx}
\)
tarkan merkityksen tulointegraalin avulla.
Olkoon \(\mathcal{P}\) jaotus välillä \([0,1]\):
\(
\mathcal{P} : 0 = x_0 < x_1 < \dots < x_n = 1,
\)
ja merkitään \(\Delta x_k = x_k - x_{k-1}\) ja \(|\mathcal{P}| = \max_k \Delta x_k\). Määritellään
\(
P(\mathcal{P}) := T_{\Delta x_n} \cdots T_{\Delta x_2} T_{\Delta x_1}.
\)
Jos raja \(\lim_{|\mathcal{P}|\to 0} P(\mathcal{P})\) on olemassa (esimerkiksi operaattorinormissa), merkitään sitä muodolla
\(
\prod_0^1 T_{dx}.
\)
- Osoita semiryhmän ominaisuuksista, että kaikilla jaotuksilla \(\mathcal{P}\) pätee \(P(\mathcal{P}) = T_1\).
- Päättele, mitä raja-arvo \(\displaystyle \prod_0^1 T_{dx}\) on.
- Miten määrittelet analogisesti yleistyksen \(\prod_a^b T_{dx}\) välille \([a,b]\), ja mikä sen arvo on semiryhmäolettamuksilla?
- Olettaen lisäksi, että semiryhmällä on generaattori \(A\) siten, että \(\frac{d}{dt} T_t \psi = A T_t \psi\) kaikilla \(\psi \in H\) ja \(t \ge 0\), sopivassa mielessä: selitä, miten formaali merkintä \(T_{dx} \approx I + A\,dx\) liittyy edellä määriteltyyn tulointegraaliin \(\displaystyle \prod_0^1 T_{dx}\) ja differentiaaliyhtälöön \(\frac{d}{dt}T_t = A T_t\).
Hienorakennevakio vapausasteista: (1⁰+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹
Erikoisia suomenkielisiä termejä: Viittaa vahvasti AI:n tuottamaan tekstiin... ; )Eusa kirjoitti: ↑23.11.2025, 10:46Löytyisikö tähän jotain vastailua?Eusa kirjoitti: ↑20.11.2025, 23:13Tässä vastineeksi tehtävää, jossa \(dx\) onkin alaindeksinä.
Olkoon \((T_t)_{t\ge 0}\) vahvasti jatkuva kontraktiosemiryhmä Hilbert-avaruudella \(H\). Toisin sanoen oletetaan, että
\(
T_0 = I,\quad
T_{s+t} = T_s T_t \quad (\forall\, s,t \ge 0),\quad
\|T_t\| \le 1 \quad (\forall\, t \ge 0),
\)
ja jokaiselle \(\psi \in H\) funktio \(t \mapsto T_t \psi\) on jatkuva (vahva jatkuvuus).
Haluamme nyt antaa merkinnälle
\(
\prod_0^1 T_{dx}
\)
tarkan merkityksen tulointegraalin avulla.
Olkoon \(\mathcal{P}\) jaotus välillä \([0,1]\):
\(
\mathcal{P} : 0 = x_0 < x_1 < \dots < x_n = 1,
\)
ja merkitään \(\Delta x_k = x_k - x_{k-1}\) ja \(|\mathcal{P}| = \max_k \Delta x_k\). Määritellään
\(
P(\mathcal{P}) := T_{\Delta x_n} \cdots T_{\Delta x_2} T_{\Delta x_1}.
\)
Jos raja \(\lim_{|\mathcal{P}|\to 0} P(\mathcal{P})\) on olemassa (esimerkiksi operaattorinormissa), merkitään sitä muodolla
\(
\prod_0^1 T_{dx}.
\)
- Osoita semiryhmän ominaisuuksista, että kaikilla jaotuksilla \(\mathcal{P}\) pätee \(P(\mathcal{P}) = T_1\).
- Päättele, mitä raja-arvo \(\displaystyle \prod_0^1 T_{dx}\) on.
Puoliryhmän ominaisuudesta \(T_{s+t} = T_s T_t\) seuraa suoraan, että annetulla välillä pätee \(T_{\Delta x_n} \cdots T_{\Delta x_1} = T_{\Delta x_n + \dots \Delta x_1} = T_1\). Tulointegraalin kaltainen notaatio tarkoittaa samaa, joten \(\displaystyle \prod_0^1 T_{dx} = T_1\).