Dysonin sarja ja kvanttikenttä

[Disputator]

Huomenta!

Kirjoitin tämän jo eilen, mutta jostain ihmeellisestä syystä johtuen ei LaTeX-koodi tuottanut kaavoja ollenkaan. Tänään sitten poistin rivinvaihdot ja kirjoitin ne uudestaan, niin homma toimi.

...
Monet mystiikalta tuntuvat Diracin kuvan asiat eivät lopulta olekaan mystisiä. Samoja (aikariippuva vs ajasta riippumaton Hamilton) voisi pyöritellä myös Heisenbergin kuvassa, joka ei jostain syystä ole mulle itselle lempikuva. En tiedä miksi, ehkä on hankalin hahmottaa konkreettisesti. Jos saat Heisenberg selonteon aikaan, niin paneudun mielellään : )
...

Joo, mä laskeskelin noita muunnoksia Diracin ja Heisenbergin kuvan välillä. Ei niillä mitään ihmeellistä arvoa ole, tavallaan vaan tulee tutuksi aihepiiri, kun pyörittelee kaavoja.

Sulla oli määritelmät tilavektorin ja operaattorin muunnokselle Schrödingerin kuvasta Diracin kuvaan:

\(O_I(t)= U_0^\dagger (t,t_0)\ O_S\ U_0(t,t_0)\\\\
\ket {\psi_I(t)}=U_0^\dagger(t,t_0)\ \ket {\psi_S(t)}\)

ja Diracin kuvan aikakehitysoperaattorin määritelmä:

\(U_I(t,t_0):= U_0^\dagger(t,t_0)\ U_S(t,t_0) \)

Sain sitten aikaan muunnoksen Heisenbergin ja Diracin kuvan välille:

\(O_H(t)= U_I^\dagger(t,t_0)\ O_I(t)\ U_I(t,t_0)\\\\
\ket {\psi_H(t)}=U_I^\dagger(t,t_0)\ \ket {\psi_I(t)}\)

Nuo saa samantyyppisellä kaavanpyörityksellä aikaan mitä tässä ketjussa on ollut, joten en nyt kirjoita välivaiheita tähän.

Laitan nyt muunnokset kaikkien kolmen eri kuvan välille näkyviin, tavallaan on ihan kiva katsella kaikkea kolmea samanaikaisesti "lintuperspektiivistä":

\(O_I(t)= U_0^\dagger(t,t_0)\ O_S\ U_0(t,t_0)\\
\ket {\psi_I(t)}=U_0^\dagger(t,t_0)\ \ket {\psi_S(t)}\)

\(O_H(t)= U_I^\dagger(t,t_0)\ O_I(t)\ U_I(t,t_0)\\
\ket {\psi_H(t)}=U_I^\dagger(t,t_0)\ \ket {\psi_I(t)}\)

\(O_H(t)= U_S^\dagger(t,t_0)\ O_S\ U_S(t,t_0)\\
\ket {\psi_H(t)}=U_S^\dagger(t,t_0)\ \ket {\psi_S(t)}\)

edit: virheitä korjailtu ja juttua lisätty

[Disputator]

Matriiseja ja ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden H operaattoreita ei kuitenkaan voi täysin samaistaa. Ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden operaattoreista löytyy aina epäjatkuvia operaattoreita, jotka käyttäytyvät kummallisesti, koska ovat epäjatkuvia. Äärellisulotteisen avaruuden matriisikuvaukset ovat aina jatkuvia. Jatkuvuus tarkoittaa jatkuvuutta matemaattisessa mielessä, kuten funktioilla. Lineaarinen ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden H operaattori A, joka on epäjatkuva yhdessä H:n pisteessä on epäjatkuva kaikissa H:n pisteissä. Kvanttimekaniikassa momenttioperaattori P on yleensä epäjatkuva. Tämä on mielenkiintoinen ja haastavava alue.

Muistin, että asiasta on keskusteltu jollain foorumilla, ja vanhoista muistiinpanoista löytyi osittain tähän liittyviä asioita.

Joo, niin minäkin muistelisin. Aihepiiri on laaja ja tähän liittyy paljon funktionaalianalyysinä tunnettua matematiikan alaa, erityisesti Hilbert-avaruuden operaattoriteoriaa. Ääretönulotteisessa Hilbert-avaruudessa \(\mathcal H\) asiat mutkistuvat aivan valtavasti verraten äärellisulotteiseen tapaukseen, jossa operaattorit ovat esitettävissä matriiseina valituissa kannoissa

Heisenbergin ryhmä on saanut nimensä kvanttimekaniikan paikka- ja liikemääräoperaattorin kommutoinneista. Operaattorit \(X_i\) (paikka) ja \(P_i\) (liikemäärä) toteuttavat kommutoinnit

\([X_i,P_j]=i\delta_{ij}\\ [X_i,X_j]=[P_i,P_j]=0\)

Operaattorit ovat Heisenbergin Lien algebran kanta, ja samalla Heisenbergin ryhmän G generaattoreita. Samoin kuin spin-operaattorit \(S_i\) ovat \(\mathfrak{su}(2)\):n kanta, jonka kommutoinnit ovat

\([S_i,S_j]=i\varepsilon_{ijk}S_k\)

Kvanttimekaniikassa systeemin dynamiikkaa kuvaa yksiparametrinen unitaarinen ryhmä \(G\). Ryhmä muodostuu joukosta unitaarisia lineaarikuvauksia \(U(t)\) Hilbertin avaruudessa \(\mathcal H\). Ryhmä voidaan kirjoittaa seuraavasti

\(\displaystyle G = \{U(t):\mathcal H \to \mathcal H \mid t \in \mathbb R,\ U^* U=Id_\mathcal H \}\)

missä neutraalialkio \(Id_\mathcal H = U(0)\). Tämä yksiparametrinen ryhmä \(\{U(t)\}\) on abelinen, ja ryhmäoperaatio kirjoitetaan \(U(a)\ \star\ U(b)=U(a+b)\). Kuvaus \(U(t)\) on lineaarikuvaus neliöintegroituvien funktioiden joukossa

\(U: L^2(\mathbb R^3) \to L^2(\mathbb R^3)\)

missä ryhmän määrittelyn notaatiolla \(\mathcal H = L^2(\mathbb R^3)\). Stonen teoreeman mukaan ryhmän alkioon \(U(t) \in G\) liittyy generaattori \(A\), joka on Hilbertin avaruuden \(\mathcal H\) itseadjungoitu (mahdollisesti rajoittamaton) operaattori. Tätä kutsutaan myös \(U(t)\):n generaattoriksi. Generaattori \(A\) on näin ollen kuvaus

\(A: \mathcal D_A \to \mathcal H\)

missä määrittelyjoukko \(\mathcal D_A \subseteq \mathcal H\). Joukko \(\mathcal D_A\) on tiheä avaruudessa \(\mathcal H\), jonka takia \(A\) voi olla rajoittamaton. Ryhmän alkiot \(U(t) \in G\) saadaan eksponenttikuvauksena

\(U(t)=\exp(-it\ A)\)

Toisin kuin \(A\), on tuo operaattori \(U(t)\) on rajoitettu, sillä unitaarisen operaattorin normi on aina 1.

Katselin tuota Stonen teoreemaa ja se on sinänsä ihan ymmärrettävä. Teoreemassa vaaditaan, että tuo yksiparametrinen ryhmä \(U(t)\) on vahvasti jatkuva. Jokaisella annetulla kiinteällä \(t\in \mathbb R\) on \(U(t)\) unitaarinen eli se on rajoitettu ja siten kuvaus \( U(t):\mathcal H\to\mathcal H\) on jatkuva. Vahva jatkuvuus liittyy sitten parametriin t ja siinä vaaditaan että raja-arvo \(\displaystyle \lim_{t\to t_0} U(t)\ket{\psi}=U(t_0)\ket{\psi}\) on olemassa kaikilla \( t_0\in\mathbb R\) ja kaikilla \( \ket{\Psi}\in \mathcal H\).

Formaalisti voidaan derivoida lauseketta \(U(t)=exp(-i A t)\) käyttäen derivaatan määritelmää:

\(\displaystyle \lim_{t\to 0} \frac{exp(-i A t)\ket{\psi}-\ket{\psi}}{t}=-i A\ket{\psi}\).

Analogisesti voidaan yrittää määritellä operaattori \( A \) yksiparametriryhmälle \(U(t)\) käyttäen raja-arvoa:

\(\displaystyle \lim_{t\to 0} \frac{U(t)\ket{\psi}-\ket{\psi}}{t}=-i A\ket{\psi}\)

siis toisinpäin kirjoitettuna ja kerrottuna luvulla i:

\(\displaystyle A\ket{\psi} \equiv i \lim_{t\to 0} \frac{U(t)\ket{\psi}-\ket{\psi}}{t}\)

Nyt ymmärtääkseni Stonen lauseen hienouksia on se, että ylläoleva raja-arvo on määritelty tiheässä Hilbert-avaruuden \(\mathcal H\) tiheässä aliavaruudessa \(\mathcal D_A\) ja siten operaattori \(A\) on määritelty samassa joukossa. Operaattori \(A\) on lisäksi lineaarinen.

On mahdollista, että operaattori \(A \) onkin määritelty koko Hilbert-avaruudessa \(\mathcal H\) ja silloin \(A\) on rajoitettu (=jatkuva) lineaarinen kuvaus \(A: \mathcal H\to \mathcal H\). Wikin artikkelissa annetaan kriteeri, joka vaatii, että allaoleva raja-arvo on olemassa:

\(\displaystyle \lim_{t\to t_0} ||U(t)-U(t_0)||=0\)

Tuossa on käytössä Hilbert-avaruuden jatkuvien (=rajoittetujen) operaattoreiden joukossa \( B(\mathcal H)\) määritelty normi:

\(||A|| = max\{||Ax||: x\in \mathcal H, ||x||\leq 1 \} \).

Max merkitsee maksimia ja oikeastaan tuossa pitäisi olla sup eikä max. Sup merkitsee supremum:

\(||A|| = sup\{||Ax||: x\in \mathcal H, ||x||\leq 1 \} \).

Tämä nyt kyllä alkaa leviämään ihan matematiikaksi. Tuossa yllä pitäisi vielä tarkastaa että se operaattori \(A\) on itse-adujgoitu, mikä taasen sisältää omat hankaluutensa johtuen siitä että \(A \)ei välttämättä ole rajoitettu.

[QS]

Matriiseja ja ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden H operaattoreita ei kuitenkaan voi täysin samaistaa. Ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden operaattoreista löytyy aina epäjatkuvia operaattoreita, jotka käyttäytyvät kummallisesti, koska ovat epäjatkuvia. Äärellisulotteisen avaruuden matriisikuvaukset ovat aina jatkuvia. Jatkuvuus tarkoittaa jatkuvuutta matemaattisessa mielessä, kuten funktioilla. Lineaarinen ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden H operaattori A, joka on epäjatkuva yhdessä H:n pisteessä on epäjatkuva kaikissa H:n pisteissä. Kvanttimekaniikassa momenttioperaattori P on yleensä epäjatkuva. Tämä on mielenkiintoinen ja haastavava alue.

Muistin, että asiasta on keskusteltu jollain foorumilla, ja vanhoista muistiinpanoista löytyi osittain tähän liittyviä asioita.

Joo, niin minäkin muistelisin. Aihepiiri on laaja ja tähän liittyy paljon funktionaalianalyysinä tunnettua matematiikan alaa, erityisesti Hilbert-avaruuden operaattoriteoriaa. Ääretönulotteisessa Hilbert-avaruudessa \(\mathcal H\) asiat mutkistuvat aivan valtavasti verraten äärellisulotteiseen tapaukseen, jossa operaattorit ovat esitettävissä matriiseina valituissa kannoissa

Heisenbergin ryhmä on saanut nimensä kvanttimekaniikan paikka- ja liikemääräoperaattorin kommutoinneista. Operaattorit \(X_i\) (paikka) ja \(P_i\) (liikemäärä) toteuttavat kommutoinnit

\([X_i,P_j]=i\delta_{ij}\\ [X_i,X_j]=[P_i,P_j]=0\)

Operaattorit ovat Heisenbergin Lien algebran kanta, ja samalla Heisenbergin ryhmän G generaattoreita. Samoin kuin spin-operaattorit \(S_i\) ovat \(\mathfrak{su}(2)\):n kanta, jonka kommutoinnit ovat

\([S_i,S_j]=i\varepsilon_{ijk}S_k\)

Kvanttimekaniikassa systeemin dynamiikkaa kuvaa yksiparametrinen unitaarinen ryhmä \(G\). Ryhmä muodostuu joukosta unitaarisia lineaarikuvauksia \(U(t)\) Hilbertin avaruudessa \(\mathcal H\). Ryhmä voidaan kirjoittaa seuraavasti

\(\displaystyle G = \{U(t):\mathcal H \to \mathcal H \mid t \in \mathbb R,\ U^* U=Id_\mathcal H \}\)

missä neutraalialkio \(Id_\mathcal H = U(0)\). Tämä yksiparametrinen ryhmä \(\{U(t)\}\) on abelinen, ja ryhmäoperaatio kirjoitetaan \(U(a)\ \star\ U(b)=U(a+b)\). Kuvaus \(U(t)\) on lineaarikuvaus neliöintegroituvien funktioiden joukossa

\(U: L^2(\mathbb R^3) \to L^2(\mathbb R^3)\)

missä ryhmän määrittelyn notaatiolla \(\mathcal H = L^2(\mathbb R^3)\). Stonen teoreeman mukaan ryhmän alkioon \(U(t) \in G\) liittyy generaattori \(A\), joka on Hilbertin avaruuden \(\mathcal H\) itseadjungoitu (mahdollisesti rajoittamaton) operaattori. Tätä kutsutaan myös \(U(t)\):n generaattoriksi. Generaattori \(A\) on näin ollen kuvaus

\(A: \mathcal D_A \to \mathcal H\)

missä määrittelyjoukko \(\mathcal D_A \subseteq \mathcal H\). Joukko \(\mathcal D_A\) on tiheä avaruudessa \(\mathcal H\), jonka takia \(A\) voi olla rajoittamaton. Ryhmän alkiot \(U(t) \in G\) saadaan eksponenttikuvauksena

\(U(t)=\exp(-it\ A)\)

Toisin kuin \(A\), on tuo operaattori \(U(t)\) on rajoitettu, sillä unitaarisen operaattorin normi on aina 1.

Katselin tuota Stonen teoreemaa ja se on sinänsä ihan ymmärrettävä. Teoreemassa vaaditaan, että tuo yksiparametrinen ryhmä \(U(t)\) on vahvasti jatkuva. Jokaisella annetulla kiinteällä \(t\in \mathbb R\) on \(U(t)\) unitaarinen eli se on rajoitettu ja siten kuvaus \( U(t):\mathcal H\to\mathcal H\) on jatkuva. Vahva jatkuvuus liittyy sitten parametriin t ja siinä vaaditaan että raja-arvo \(\displaystyle \lim_{t\to t_0} U(t)\ket{\psi}=U(t_0)\ket{\psi}\) on olemassa kaikilla \( t_0\in\mathbb R\) ja kaikilla \( \ket{\Psi}\in \mathcal H\).

Kyllä, näin minäkin tämän ymmärrän. Ja hyvä huomio tuo, että vahva jatkuvuus liittyy nimen omaan parametriin t, eikä suoraan kuvauksen \(U(t): \mathcal H \to \mathcal H\) jatkuvuuteen.

Formaalisti voidaan derivoida lauseketta \(U(t)=exp(-i A t)\) käyttäen derivaatan määritelmää:

\(\displaystyle \lim_{t\to 0} \frac{exp(-i A t)\ket{\psi}-\ket{\psi}}{t}=-i A\ket{\psi}\).

Analogisesti voidaan yrittää määritellä operaattori \( A \) yksiparametriryhmälle \(U(t)\) käyttäen raja-arvoa:

\(\displaystyle \lim_{t\to 0} \frac{U(t)\ket{\psi}-\ket{\psi}}{t}=-i A\ket{\psi}\)

siis toisinpäin kirjoitettuna ja kerrottuna luvulla i:

\(\displaystyle A\ket{\psi} \equiv i \lim_{t\to 0} \frac{U(t)\ket{\psi}-\ket{\psi}}{t}\)

Nyt ymmärtääkseni Stonen lauseen hienouksia on se, että ylläoleva raja-arvo on määritelty tiheässä Hilbert-avaruuden \(\mathcal H\) tiheässä aliavaruudessa \(\mathcal D_A\) ja siten operaattori \(A\) on määritelty samassa joukossa. Operaattori \(A\) on lisäksi lineaarinen.

On mahdollista, että operaattori \(A \) onkin määritelty koko Hilbert-avaruudessa \(\mathcal H\) ja silloin \(A\) on rajoitettu (=jatkuva) lineaarinen kuvaus \(A: \mathcal H\to \mathcal H\). Wikin artikkelissa annetaan kriteeri, joka vaatii, että allaoleva raja-arvo on olemassa:

\(\displaystyle \lim_{t\to t_0} ||U(t)-U(t_0)||=0\)

Tuossa on käytössä Hilbert-avaruuden jatkuvien (=rajoittetujen) operaattoreiden joukossa \( B(\mathcal H)\) määritelty normi:

\(||A|| = max\{||Ax||: x\in \mathcal H, ||x||\leq 1 \} \).

Max merkitsee maksimia ja oikeastaan tuossa pitäisi olla sup eikä max. Sup merkitsee supremum:

\(||A|| = sup\{||Ax||: x\in \mathcal H, ||x||\leq 1 \} \).

Tämä nyt kyllä alkaa leviämään ihan matematiikaksi. Tuossa yllä pitäisi vielä tarkastaa että se operaattori \(A\) on itse-adujgoitu, mikä taasen sisältää omat hankaluutensa johtuen siitä että \(A \)ei välttämättä ole rajoitettu.

Kyllä, jos käsitin oikein, niin kirjoittamasi \(\displaystyle \lim_{t\to t_0} ||U(t)-U(t_0)||=0\) on wikissä vain mainittu normijatkuvuutena, joka on siis tiukempi kuin Stonen lauseen vahva jatkuvuus.

Tässä tiukemmassa tapauksessa kyseessä on normijatkuva yksiparametrinen unitaarinen ryhmä, jonka generaattori A on aina rajoitettu. Stonen lauseessa A voi olla rajoitettu tai rajoittamaton.

Esimerkiksi spin-1/2 operaattori \(S_i\) on rajoitettu, ja sen generoima unitaarinen ryhmä \(\theta \mapsto U_i(\theta)\) on normijatkuva. Tuo \(S_i\) on äärellisulotteisen Hilbertin avaruuden \(\mathbb C^2\) operaattori, joka on rajoitettu ja lisäksi itseadjungoitu.

[Disputator]

Iltapäivää!

Huomasin nyt kotimatkalla yhden hieman hämmentävän asian. Nimittäin sen mitä Stonen lause väittää ja mitä Dysonin sarja väittää.

Stonen mukaan (lauseen ehdoin) yksiparametrinen ryhmä unitaarisia Hilbertin avaruuden \(\mathcal H\) operaattoreita \(U(t), t\in \mathbb R\) voidaan esittää eksponenttifunktiona

\(U(t) =e^{i A t},\)

missä \(A\) on itseadjungoitu operaattori.

Nyt jos tarkastellaankin ihan yleistä aikakehitysoperaattoria \(U(t,t_0)\), joka on annetuilla \( t,t_0\in\mathbb R\) unitaarinen. Tätä ei kuitenkaan voida aina redusoida eksponenttimuotoon, vaan on käytettävä sitä aikajärjestysargumenttia. Esimerkiksi sulla oli aikaisemmassa kirjoituksessa tämä:

Näin on saatu Diracin kuvan aikakehityksen operaattorille \(U_I(t,t_0)\) yhtälö

\(\frac{d}{dt} U_I(t,t_0) = H_I(t)\ U_I(t,t_0)\)

ja ratkaisu aikajärjestettynä eksponenttina

\(\displaystyle U_I(t,t_0) = U_0^\dagger(t,t_0)\ U_S(t,t_0) = \mathcal T \exp\left(-i \int_{t_0}^{t} dt' H_I(t') \right)\)

missä \(H_I(t) = U_0^\dagger(t,t_0)\ \big(H_{int}(t)\big)\ U_0(t,t_0)\).

(muokkasin tuossa lainauksessa hieman koodia, lainaus sellaisenaan ei jostain syystä toimi)

Se ongelma tuossa tai ero Stonen lauseeseen on ilmeisesti se, että nämä operaattorit \(U(t,t_0)\), missä \(t,t_0\in \mathbb R\) ovat mielivaltaisia ei ole (yleensä) yksiparametrinen ryhmä. Toki jo silmämääräisesti siellä on kaksi parametria: \(t\) ja \( t_0\). Tuo on ilmeisesti yksiparametrinen ryhmä silloin kun \(U(t,t_0) \equiv U(t-t_0,0)\).

En nyt osaa heti muotoilla tuota tarkasti joten täytyy pohtia asiaa lisää.

[Disputator]

Matriiseja ja ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden H operaattoreita ei kuitenkaan voi täysin samaistaa. Ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden operaattoreista löytyy aina epäjatkuvia operaattoreita, jotka käyttäytyvät kummallisesti, koska ovat epäjatkuvia. Äärellisulotteisen avaruuden matriisikuvaukset ovat aina jatkuvia. Jatkuvuus tarkoittaa jatkuvuutta matemaattisessa mielessä, kuten funktioilla. Lineaarinen ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden H operaattori A, joka on epäjatkuva yhdessä H:n pisteessä on epäjatkuva kaikissa H:n pisteissä. Kvanttimekaniikassa momenttioperaattori P on yleensä epäjatkuva. Tämä on mielenkiintoinen ja haastavava alue.

Muistin, että asiasta on keskusteltu jollain foorumilla, ja vanhoista muistiinpanoista löytyi osittain tähän liittyviä asioita.

Joo, niin minäkin muistelisin. Aihepiiri on laaja ja tähän liittyy paljon funktionaalianalyysinä tunnettua matematiikan alaa, erityisesti Hilbert-avaruuden operaattoriteoriaa. Ääretönulotteisessa Hilbert-avaruudessa \(\mathcal H\) asiat mutkistuvat aivan valtavasti verraten äärellisulotteiseen tapaukseen, jossa operaattorit ovat esitettävissä matriiseina valituissa kannoissa

Heisenbergin ryhmä on saanut nimensä kvanttimekaniikan paikka- ja liikemääräoperaattorin kommutoinneista. Operaattorit \(X_i\) (paikka) ja \(P_i\) (liikemäärä) toteuttavat kommutoinnit

\([X_i,P_j]=i\delta_{ij}\\ [X_i,X_j]=[P_i,P_j]=0\)

Operaattorit ovat Heisenbergin Lien algebran kanta, ja samalla Heisenbergin ryhmän G generaattoreita. Samoin kuin spin-operaattorit \(S_i\) ovat \(\mathfrak{su}(2)\):n kanta, jonka kommutoinnit ovat

\([S_i,S_j]=i\varepsilon_{ijk}S_k\)

Kvanttimekaniikassa systeemin dynamiikkaa kuvaa yksiparametrinen unitaarinen ryhmä \(G\). Ryhmä muodostuu joukosta unitaarisia lineaarikuvauksia \(U(t)\) Hilbertin avaruudessa \(\mathcal H\). Ryhmä voidaan kirjoittaa seuraavasti

\(\displaystyle G = \{U(t):\mathcal H \to \mathcal H \mid t \in \mathbb R,\ U^* U=Id_\mathcal H \}\)

missä neutraalialkio \(Id_\mathcal H = U(0)\). Tämä yksiparametrinen ryhmä \(\{U(t)\}\) on abelinen, ja ryhmäoperaatio kirjoitetaan \(U(a)\ \star\ U(b)=U(a+b)\). Kuvaus \(U(t)\) on lineaarikuvaus neliöintegroituvien funktioiden joukossa

\(U: L^2(\mathbb R^3) \to L^2(\mathbb R^3)\)

missä ryhmän määrittelyn notaatiolla \(\mathcal H = L^2(\mathbb R^3)\). Stonen teoreeman mukaan ryhmän alkioon \(U(t) \in G\) liittyy generaattori \(A\), joka on Hilbertin avaruuden \(\mathcal H\) itseadjungoitu (mahdollisesti rajoittamaton) operaattori. Tätä kutsutaan myös \(U(t)\):n generaattoriksi. Generaattori \(A\) on näin ollen kuvaus

\(A: \mathcal D_A \to \mathcal H\)

missä määrittelyjoukko \(\mathcal D_A \subseteq \mathcal H\). Joukko \(\mathcal D_A\) on tiheä avaruudessa \(\mathcal H\), jonka takia \(A\) voi olla rajoittamaton. Ryhmän alkiot \(U(t) \in G\) saadaan eksponenttikuvauksena

\(U(t)=\exp(-it\ A)\)

Toisin kuin \(A\), on tuo operaattori \(U(t)\) on rajoitettu, sillä unitaarisen operaattorin normi on aina 1.

Katselin tuota Stonen teoreemaa ja se on sinänsä ihan ymmärrettävä. Teoreemassa vaaditaan, että tuo yksiparametrinen ryhmä \(U(t)\) on vahvasti jatkuva. Jokaisella annetulla kiinteällä \(t\in \mathbb R\) on \(U(t)\) unitaarinen eli se on rajoitettu ja siten kuvaus \( U(t):\mathcal H\to\mathcal H\) on jatkuva. Vahva jatkuvuus liittyy sitten parametriin t ja siinä vaaditaan että raja-arvo \(\displaystyle \lim_{t\to t_0} U(t)\ket{\psi}=U(t_0)\ket{\psi}\) on olemassa kaikilla \( t_0\in\mathbb R\) ja kaikilla \( \ket{\Psi}\in \mathcal H\).

Kyllä, näin minäkin tämän ymmärrän. Ja hyvä huomio tuo, että vahva jatkuvuus liittyy nimen omaan parametriin t, eikä suoraan kuvauksen \(U(t): \mathcal H \to \mathcal H\) jatkuvuuteen.

Formaalisti voidaan derivoida lauseketta \(U(t)=exp(-i A t)\) käyttäen derivaatan määritelmää:

\(\displaystyle \lim_{t\to 0} \frac{exp(-i A t)\ket{\psi}-\ket{\psi}}{t}=-i A\ket{\psi}\).

Analogisesti voidaan yrittää määritellä operaattori \( A \) yksiparametriryhmälle \(U(t)\) käyttäen raja-arvoa:

\(\displaystyle \lim_{t\to 0} \frac{U(t)\ket{\psi}-\ket{\psi}}{t}=-i A\ket{\psi}\)

siis toisinpäin kirjoitettuna ja kerrottuna luvulla i:

\(\displaystyle A\ket{\psi} \equiv i \lim_{t\to 0} \frac{U(t)\ket{\psi}-\ket{\psi}}{t}\)

Nyt ymmärtääkseni Stonen lauseen hienouksia on se, että ylläoleva raja-arvo on määritelty tiheässä Hilbert-avaruuden \(\mathcal H\) tiheässä aliavaruudessa \(\mathcal D_A\) ja siten operaattori \(A\) on määritelty samassa joukossa. Operaattori \(A\) on lisäksi lineaarinen.

On mahdollista, että operaattori \(A \) onkin määritelty koko Hilbert-avaruudessa \(\mathcal H\) ja silloin \(A\) on rajoitettu (=jatkuva) lineaarinen kuvaus \(A: \mathcal H\to \mathcal H\). Wikin artikkelissa annetaan kriteeri, joka vaatii, että allaoleva raja-arvo on olemassa:

\(\displaystyle \lim_{t\to t_0} ||U(t)-U(t_0)||=0\)

Tuossa on käytössä Hilbert-avaruuden jatkuvien (=rajoittetujen) operaattoreiden joukossa \( B(\mathcal H)\) määritelty normi:

\(||A|| = max\{||Ax||: x\in \mathcal H, ||x||\leq 1 \} \).

Max merkitsee maksimia ja oikeastaan tuossa pitäisi olla sup eikä max. Sup merkitsee supremum:

\(||A|| = sup\{||Ax||: x\in \mathcal H, ||x||\leq 1 \} \).

Tämä nyt kyllä alkaa leviämään ihan matematiikaksi. Tuossa yllä pitäisi vielä tarkastaa että se operaattori \(A\) on itse-adujgoitu, mikä taasen sisältää omat hankaluutensa johtuen siitä että \(A \)ei välttämättä ole rajoitettu.

Kyllä, jos käsitin oikein, niin kirjoittamasi \(\displaystyle \lim_{t\to t_0} ||U(t)-U(t_0)||=0\) on wikissä vain mainittu normijatkuvuutena, joka on siis tiukempi kuin Stonen lauseen vahva jatkuvuus.

Kyllä, mun ymmärryksen mukaan näin on.

Tässä tiukemmassa tapauksessa kyseessä on normijatkuva yksiparametrinen unitaarinen ryhmä, jonka generaattori A on aina rajoitettu. Stonen lauseessa A voi olla rajoitettu tai rajoittamaton.

Kyllä, jos yksiparametrinen unitaarinen ryhmä ei ole normijatkuva, niin A on rajoittamaton (epäjatkuva). Tämä keissi on mahdollinen vain jos Hilbert-avaruus on ääretönulotteinen.

Esimerkiksi spin-1/2 operaattori \(S_i\) on rajoitettu, ja sen generoima unitaarinen ryhmä \(\theta \mapsto U_i(\theta)\) on normijatkuva. Tuo \(S_i\) on äärellisulotteisen Hilbertin avaruuden \(\mathbb C^2\) operaattori, joka on rajoitettu ja lisäksi itseadjungoitu.

Näin on. Äärellisulotteisessa tapauksessa ei oikeastaan ole mitään ongelmia, vain kun Hilbert-avaruus on ääretönulotteinen, asiat muuttuvat hankaliksi.

[QS]

Iltapäivää!

Huomasin nyt kotimatkalla yhden hieman hämmentävän asian. Nimittäin sen mitä Stonen lause väittää ja mitä Dysonin sarja väittää.

Stonen mukaan (lauseen ehdoin) yksiparametrinen ryhmä unitaarisia Hilbertin avaruuden \(\mathcal H\) operaattoreita \(U(t), t\in \mathbb R\) voidaan esittää eksponenttifunktiona

\(U(t) =e^{i A t},\)

missä \(A\) on itseadjungoitu operaattori.

Nyt jos tarkastellaankin ihan yleistä aikakehitysoperaattoria \(U(t,t_0)\), joka on annetuilla \( t,t_0\in\mathbb R\) unitaarinen. Tätä ei kuitenkaan voida aina redusoida eksponenttimuotoon, vaan on käytettävä sitä aikajärjestysargumenttia. Esimerkiksi sulla oli aikaisemmassa kirjoituksessa tämä:

Näin on saatu Diracin kuvan aikakehityksen operaattorille \(U_I(t,t_0)\) yhtälö

\(\frac{d}{dt} U_I(t,t_0) = H_I(t)\ U_I(t,t_0)\)

ja ratkaisu aikajärjestettynä eksponenttina

\(\displaystyle U_I(t,t_0) = U_0^\dagger(t,t_0)\ U_S(t,t_0) = \mathcal T \exp\left(-i \int_{t_0}^{t} dt' H_I(t') \right)\)

missä \(H_I(t) = U_0^\dagger(t,t_0)\ \big(H_{int}(t)\big)\ U_0(t,t_0)\).

(muokkasin tuossa lainauksessa hieman koodia, lainaus sellaisenaan ei jostain syystä toimi)

Se ongelma tuossa tai ero Stonen lauseeseen on ilmeisesti se, että nämä operaattorit \(U(t,t_0)\), missä \(t,t_0\in \mathbb R\) ovat mielivaltaisia ei ole (yleensä) yksiparametrinen ryhmä. Toki jo silmämääräisesti siellä on kaksi parametria: \(t\) ja \( t_0\). Tuo on ilmeisesti yksiparametrinen ryhmä silloin kun \(U(t,t_0) \equiv U(t-t_0,0)\).

En nyt osaa heti muotoilla tuota tarkasti joten täytyy pohtia asiaa lisää.

Terävä havainto, en tuota edes ajatellut. Yleisesti ottaen \(\{U(t,t_0)\}\) ei selvästikään ole yksiparametrinen.

Kätevä määrittelysi \(U(t,t_0) \equiv U(t-t_0,0)\) korjaa tilanteen, ja sen voisi tehdä kai sitenkin, että kiinnitetään alkuaika \(t_0 = 0\), ja määritellään \(U(t,0) \equiv U(t)\). Näin määriteltynä \(U(t)\) on yksiparametrinen, ja Stonen lauseen perusteella saadaan \(U(t) =e^{i A t}\), missä \(A\) on yksikäsitteinen itseadjungoitu generaattori.

Mutta määrittelystä \(U(t,0) \equiv U(t)\) seuraa, että generaattori A on aina ajasta riippumaton, se ei saa olla muotoa A(t). Jos olisi, niin päädytään aikajärjestettyyn eksponenttiin samoin kuin aikariippuvan Hamitonin \(H(t)\) tapauksessa. Ja Stonen lause ei ole voimassa.

En nyt sitten tiedä, että onko olemassa "kaksiparametrinen" unitaarinen ryhmä, johon tuo yleisempi \(U(t,t_0)\) kuuluisi. Ehkä se on vain unitaarinen aikakehityksen operaattori, jolta puuttuu ryhmä-ominaisuus.

[Eusa]

Heisenbergin kuvassa tehdään eräänlainen "temppu": tila jäädytetään referenssiaikaan \(t_0\) ja aikariippuvuus siirretään operaattoreihin. Määritellään

\(|\psi_H\rangle := |\psi_S(t_0)\rangle,\)

\(\hat O_H(t) := \hat U^{\dagger}(t,t_0)\hat O_S\hat U(t,t_0).\)

Tällöin havaittava \(\hat O\) noudattaa Heisenbergin liikeyhtälöä

\(i\hbar \frac{d}{dt}\hat O_H(t)
= [\hat O_H(t),\hat H_H]
+ i\hbar \left(\frac{\partial \hat O_S}{\partial t}\right)_H.\)

Koska käytännössä prosessia seurataan aina ulkopuolisessa "laboratoriokoordinaatistossa", päästäksemme ajasta riippumattoman järjestyksen kuvaan, tuollainen \(t_0\) on prosessiuniversaaliuden kannalta perusteltua. Itse asiassa “temppu”, jossa tila jäädytetään aikaan \(t_0\), heijastaa sitä, että tarkastelemme dynamiikkaa laboratoriokoordinaatiston ajassa \(t\); tila toimii vain lähtödata-alustana ajan hetkellä \(t_0\) ja kaikki myöhempi aikariippuvuus kirjautuu operaattoreihin. Näin Heisenbergin kuva erottelee prosessin kausaalijärjestyneen rakenteen selkeästi erottuvana, vaikka itse tila pysyy muodollisesti ajasta riippumattomana.

[Disputator]

Keskipäivää!

...
Se ongelma tuossa tai ero Stonen lauseeseen on ilmeisesti se, että nämä operaattorit \(U(t,t_0)\), missä \(t,t_0\in \mathbb R\) ovat mielivaltaisia ei ole (yleensä) yksiparametrinen ryhmä. Toki jo silmämääräisesti siellä on kaksi parametria: \(t\) ja \( t_0\). Tuo on ilmeisesti yksiparametrinen ryhmä silloin kun \(U(t,t_0) \equiv U(t-t_0,0)\).

En nyt osaa heti muotoilla tuota tarkasti joten täytyy pohtia asiaa lisää.

Terävä havainto, en tuota edes ajatellut. Yleisesti ottaen \(\{U(t,t_0)\}\) ei selvästikään ole yksiparametrinen.

Kätevä määrittelysi \(U(t,t_0) \equiv U(t-t_0,0)\) korjaa tilanteen, ja sen voisi tehdä kai sitenkin, että kiinnitetään alkuaika \(t_0 = 0\), ja määritellään \(U(t,0) \equiv U(t)\). Näin määriteltynä \(U(t)\) on yksiparametrinen, ja Stonen lauseen perusteella saadaan \(U(t) =e^{i A t}\), missä \(A\) on yksikäsitteinen itseadjungoitu generaattori.

Laskin tuota hieman enemmän ja lähdin olettamuksesta että kaikilla \(s,t\in \mathbb R\) pätee \(U(s,t)=U(s-t,0)\) Siis myös kaikilla \(t_0,t_1,t_2\in \mathbb R\) pätee

\(U(t_2-t_1,0)=U(t_2,t_1)\)
\(U(t_1-t_0,0)=U(t_1,t_0)\)

Noista saa aikakehitysoperaattorin määritelmän perusteella kertomalla oikeat puolet keskenään:

\(U(t_2,t_1)U(t_1,t_0) =U(t_2,t_0)\).

Olettamuksen \(U(s,t)=U(s-t,0)\) perusteella tuo voidaan kirjoittaa:

\(U(t_2-t_1,0)U(t_1-t_0,0)=U(t_2-t_0,0)
\)

Tuo jo näyttää melkein yksiparametriryhmältä ja jos asetan \(s_2=t_2-t_1\) ja \(s_1=t_1-t_0\) saan tuon muotoon:

\(U(s_2,0)U(s_1,0)=U(s_2+s_1,0)\)

Tuohon kun käyttää määritelmääsi \(U(t,0) \equiv U(t)\) saa sitten:

\(U(s_2)U(s_1)=U(s_2+s_1)\)

Tavallaan nyt tuossa aikakehitysoperaattorissa vain aikojen erotukset ovat merkitseviä ei absoluuttiset ajan arvot, tai sama asia voidaan kirjoittaa muodossa, kun \(T\in \mathbb R\):

\(U(s+T,t+T)= U(s+T - (t+T),0) = U(s-t,0)=U(s,t)\)

Tuosta varmaan joku Noetherin sukulainen voisi päätellä jonkinlaisen säilymislain, vahva arvaus on \(A\) Stonen lauseen \(U(t) =e^{i A t}\) muodossa tms. Tosin \(A \) on operaattori, mutta silti.

[QS]

Laskin tuota hieman enemmän ja lähdin olettamuksesta että kaikilla \(s,t\in \mathbb R\) pätee \(U(s,t)=U(s-t,0)\) Siis myös kaikilla \(t_0,t_1,t_2\in \mathbb R\) pätee

\(U(t_2-t_1,0)=U(t_2,t_1)\)
\(U(t_1-t_0,0)=U(t_1,t_0)\)

Noista saa aikakehitysoperaattorin määritelmän perusteella kertomalla oikeat puolet keskenään:

\(U(t_2,t_1)U(t_1,t_0) =U(t_2,t_0)\).

Olettamuksen \(U(s,t)=U(s-t,0)\) perusteella tuo voidaan kirjoittaa:

\(U(t_2-t_1,0)U(t_1-t_0,0)=U(t_2-t_0,0)
\)

Tuo jo näyttää melkein yksiparametriryhmältä ja jos asetan \(s_2=t_2-t_1\) ja \(s_1=t_1-t_0\) saan tuon muotoon:

\(U(s_2,0)U(s_1,0)=U(s_2+s_1,0)\)

Tuohon kun käyttää määritelmääsi \(U(t,0) \equiv U(t)\) saa sitten:

\(U(s_2)U(s_1)=U(s_2+s_1)\)

Tavallaan nyt tuossa aikakehitysoperaattorissa vain aikojen erotukset ovat merkitseviä ei absoluuttiset ajan arvot, tai sama asia voidaan kirjoittaa muodossa, kun \(T\in \mathbb R\):

\(U(s+T,t+T)= U(s+T - (t+T),0) = U(s-t,0)=U(s,t)\)

Tuosta varmaan joku Noetherin sukulainen voisi päätellä jonkinlaisen säilymislain, vahva arvaus on \(A\) Stonen lauseen \(U(t) =e^{i A t}\) muodossa tms. Tosin \(A \) on operaattori, mutta silti.

Joo, tuo mitä kirjoitit on munkin mielestä totta.

Oletus \(U(s,t)=U(s-t,0)\), ja myöhemmin kirjoittamasi \(U(s+T,t+T)=U(s,t)\) tarkoittaa sitä, että \(U\) on invariantti ajansiirrossa, joten on Noetherin lausetta muistuttava tilanne.

Kun \(A\) generoi ajansiirron, ja kyseessä on ajansiirron symmetria, niin varmastikin odotusarvo \(\langle A \rangle\) on aikariippumaton, eli siis \((d/dt)\ \langle A \rangle = 0\). Tämä olisi se operaattorin A säilymislaki.

[Disputator]

Iltaa!

Laskin tuota hieman enemmän ja lähdin olettamuksesta että kaikilla \(s,t\in \mathbb R\) pätee \(U(s,t)=U(s-t,0)\) Siis myös kaikilla \(t_0,t_1,t_2\in \mathbb R\) pätee

\(U(t_2-t_1,0)=U(t_2,t_1)\)
\(U(t_1-t_0,0)=U(t_1,t_0)\)

Noista saa aikakehitysoperaattorin määritelmän perusteella kertomalla oikeat puolet keskenään:

\(U(t_2,t_1)U(t_1,t_0) =U(t_2,t_0)\).

Olettamuksen \(U(s,t)=U(s-t,0)\) perusteella tuo voidaan kirjoittaa:

\(U(t_2-t_1,0)U(t_1-t_0,0)=U(t_2-t_0,0)
\)

Tuo jo näyttää melkein yksiparametriryhmältä ja jos asetan \(s_2=t_2-t_1\) ja \(s_1=t_1-t_0\) saan tuon muotoon:

\(U(s_2,0)U(s_1,0)=U(s_2+s_1,0)\)

Tuohon kun käyttää määritelmääsi \(U(t,0) \equiv U(t)\) saa sitten:

\(U(s_2)U(s_1)=U(s_2+s_1)\)

Tavallaan nyt tuossa aikakehitysoperaattorissa vain aikojen erotukset ovat merkitseviä ei absoluuttiset ajan arvot, tai sama asia voidaan kirjoittaa muodossa, kun \(T\in \mathbb R\):

\(U(s+T,t+T)= U(s+T - (t+T),0) = U(s-t,0)=U(s,t)\)

Tuosta varmaan joku Noetherin sukulainen voisi päätellä jonkinlaisen säilymislain, vahva arvaus on \(A\) Stonen lauseen \(U(t) =e^{i A t}\) muodossa tms. Tosin \(A \) on operaattori, mutta silti.

Joo, tuo mitä kirjoitit on munkin mielestä totta.

Oletus \(U(s,t)=U(s-t,0)\), ja myöhemmin kirjoittamasi \(U(s+T,t+T)=U(s,t)\) tarkoittaa sitä, että \(U\) on invariantti ajansiirrossa, joten on Noetherin lausetta muistuttava tilanne.

Kun \(A\) generoi ajansiirron, ja kyseessä on ajansiirron symmetria, niin varmastikin odotusarvo \(\langle A \rangle\) on aikariippumaton, eli siis \((d/dt)\ \langle A \rangle = 0\). Tämä olisi se operaattorin A säilymislaki.

Laskeskelin vähän tuota enemmän seuraavasti:

Oletetaan että kaikilla t ja s pätee \(U(t,s)=U(t-s,0)\) niin silloin ainakin formaalisti \(U = exp(i A t)\), missä \(A\) on vakio-operaatori eli se ei riipu ajasta. Tämän näkee muodollisesti muodostamalla derivaatta:

\( i\frac{d}{dt}U(t,s)|_{t=s}=i\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{U(s+\Delta t,s)-U(s,s)}{\Delta t}=i\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{U(\Delta t,0)-U(0,0)}{\Delta t}\).

Tuota oikeanpuolista kaavaa kun tuijottaa hetken havaitsee sen olevan vakio-operaatori eli asetetaan määritelmä:

\(i A=i\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{U(\Delta t,0)-U(0,0)}{\Delta t}\).

Siis U(s,t) toteuttaa differentiaaliyhtälön \( i\frac{d}{dt}U(t,s)|_{t=s} =i A\). Tällä differentiaaliyhtälöllä on ratkaisuna myös \(U_1(s,t)= exp(i A (t-s))\). Siis \(U(s,t)\) ja \(U_1(s,t)\) toteuttavat saman DY:n alkuarvolla \(U(s,s)=U_1(s,s)=Id_{\mathcal H}\) joten ne ovat samat:

\(U(s,t)=U(t-s,0)=exp(i A(t-s))\).

Nyt jos asetetaan uusi aikaparametri t'=t-s voidaan kirjoittaa lyhyemmin

\(U(t',0)= exp (i A t')\)

tai määritellen \(U(t')=U(t',0)\) ja poistamalla pilkut:

\(U(t)= exp(i A t)\).

Tälläisen kehittelin. En kyllä ole oikein tyytyväinen tuohon, edes formaalina laskuna, mulla on sellainen epämääräinen tunne, että siinä on jotain hämärää.