Vaunun liikkuessa pituuskontrakio lyhentää vaunun mittaa = L/𝛾 , mutta ei se mekaanisesti tietenkään lyhene.
Muutetaan tämä junanvaunun esimerkki sellaiseksi, ettei jää tulkinnan varaa.
Laiturin koordinaatisto on se, josta tapahtumaa vaunussa tarkastellaan, kun "ei vielä tiedetä" miten valo vaunussa liikkuu.
Vaunun pituus L = 30 m. Vaunun takaseinässä on lamppu ja etuseinässä peili.
Vaunu paikallaan sekä laiturin koordinaatistossa että vaunun koordinaatistossa valon kulkuaika peliin ja takaisin on sama = 0,1 µs.
Kun vaunu lähtee liikkeelle, laiturin koordinaatistossa etuseinän peili karkaa valon edellä, jolloin tm > 0,1 µs,
ja takaseinä lähestyy peilistä heijastunutta valoa vastaan, jolloin tp < 0,1 µs.
Vaunun koordinaatistossa t’m = tm/𝛾 = 0,1 µs ja t’p = tp·𝛾 = 0,1 µs .
Eli liikkuvassa koordinaatistossa valon kulkuaika molempiin suuntiin on sama.
Jos tuota epäilee, voihan noita aikoja laskea erilaisilla laskutoimituksilla, mutta aina joutuu käyttämään 𝛾:aa tekijänä, jolloin lopputulos riippuu siitä, ja täytyy päätyä noihin aikoihin.
Tuosta looginen päätelmä on, että liikkuvassa koordinaatistossa valon edestakainen nopeus on sama kuin yksisuuntainen nopeus c.
Laiturin koordinaatisto on se, josta tapahtumaa vaunussa tarkastellaan, kun "ei vielä tiedetä" miten valo vaunussa liikkuu.
Vaunun pituus L = 30 m. Vaunun takaseinässä on lamppu ja etuseinässä peili.
Vaunu paikallaan sekä laiturin koordinaatistossa että vaunun koordinaatistossa valon kulkuaika peliin ja takaisin on sama = 0,1 µs.
Kun vaunu lähtee liikkeelle, laiturin koordinaatistossa etuseinän peili karkaa valon edellä, jolloin tm > 0,1 µs,
ja takaseinä lähestyy peilistä heijastunutta valoa vastaan, jolloin tp < 0,1 µs.
Vaunun koordinaatistossa t’m = tm/𝛾 = 0,1 µs ja t’p = tp·𝛾 = 0,1 µs .
Eli liikkuvassa koordinaatistossa valon kulkuaika molempiin suuntiin on sama.
Jos tuota epäilee, voihan noita aikoja laskea erilaisilla laskutoimituksilla, mutta aina joutuu käyttämään 𝛾:aa tekijänä, jolloin lopputulos riippuu siitä, ja täytyy päätyä noihin aikoihin.
Tuosta looginen päätelmä on, että liikkuvassa koordinaatistossa valon edestakainen nopeus on sama kuin yksisuuntainen nopeus c.
Täsmällisemmin.Kontra kirjoitti: ↑12.1.2026, 14:33Muutetaan tämä junanvaunun esimerkki sellaiseksi, ettei jää tulkinnan varaa.
Laiturin koordinaatisto on se, josta tapahtumaa vaunussa tarkastellaan, kun "ei vielä tiedetä" miten valo vaunussa liikkuu.
Vaunun pituus L = 30 m. Vaunun takaseinässä on lamppu ja etuseinässä peili.
Vaunu paikallaan sekä laiturin koordinaatistossa että vaunun koordinaatistossa valon kulkuaika peliin ja takaisin on sama = 0,1 µs.
Kun vaunu lähtee liikkeelle, laiturin koordinaatistossa etuseinän peili karkaa valon edellä, jolloin tm > 0,1 µs,
ja takaseinä lähestyy peilistä heijastunutta valoa vastaan, jolloin tp < 0,1 µs.
Vaunun koordinaatistossa t’m = tm/𝛾 = 0,1 µs ja t’p = tp·𝛾 = 0,1 µs .
Eli liikkuvassa koordinaatistossa valon kulkuaika molempiin suuntiin on sama.
Jos tuota epäilee, voihan noita aikoja laskea erilaisilla laskutoimituksilla, mutta aina joutuu käyttämään 𝛾:aa tekijänä, jolloin lopputulos riippuu siitä, ja täytyy päätyä noihin aikoihin.
Tuosta looginen päätelmä on, että liikkuvassa koordinaatistossa valon edestakainen nopeus on sama kuin yksisuuntainen nopeus c.
Tasaisessa nopeudessa tyhjiössä liikkuvassa valokelkassa (vaunusta riisuttu kaikki joutava pois) valonnopeus on sama kumpaankin suuntaan. Tästä seuraa SUORAAN että kahdessa eri liiketilassa olevassa kelkassa valonnopeus ei ole havaitsijalle sama, seuraus on doppler.
Minäpä lasken tämän sinulle ihan mekaanisesti, ja ilman Lorentz-muunnoksia, jotta huomaat, että \(\gamma\):lla kertominen/jakaminen ei ole oikea tapa tehdä suheellisuusteoriaa.Kontra kirjoitti: ↑12.1.2026, 14:33Vaunun pituus L = 30 m. Vaunun takaseinässä on lamppu ja etuseinässä peili.
...
Kun vaunu lähtee liikkeelle, laiturin koordinaatistossa etuseinän peili karkaa valon edellä, jolloin tm > 0,1 µs,
ja takaseinä lähestyy peilistä heijastunutta valoa vastaan, jolloin tp < 0,1 µs.
Vaunun koordinaatistossa t’m = tm/𝛾 = 0,1 µs ja t’p = tp·𝛾 = 0,1 µs .
Laiturin koordinaatisto on K(t,x) ja vaunun K'(t',x'). Lepokoordinaateilla vaunun pituus on \(L'=30\).
K:ssa tarkasteltuna valo lähtee paikasta \((t,x)= (0,0)\) nopeudella c, ja saavuttaa nopeudella v liikkuvan etuseinän hetkellä \(t_1\), ja paikassa \(x_1\), eli siis tapahtumassa \((t_1,x_1)\). Etuseinä on hetkellä \(t=0\) paikassa \(x=L\) (K:ssa mitattu vaunun pituus L).
Valonsäteen paikka voidaan kirjoittaa \(x_v(t) = ct\), liikkuvan vaunun etuseinän paikka \(x_e(t) = L + vt\), ja liikkuvan vaunun takaseinän paikka \(x_t(t)=vt\).
Valo saavuttaa etuseinän, kun \(x_v(t_1) = x_e(t_1)\). Siispä kirjoitetaan yhtälö \(c t_1 = L + v t_1\), ja ratkaistaan
\(\displaystyle t_1 = \frac{L}{c-v}\).
Tämä on hetki, jolloin valo saavuttaa etuseinän, kun tapahtumaa tarkastellaan K:ssa. Kun \(t_1\) sijoitetaan lausekkeeseen \(x_v(t)=ct\), niin saadaan paikka, jossa valo saavuttaa etuseinän
\(\displaystyle x_1 = c t_1 = \frac{cL}{c-v}\).
Valon saavuttaa siis etuseinän tapahtumassa \(\displaystyle (t_1, x_1) = \left(\frac{L}{c-v}, \frac{cL}{c-v}\right)\).
Tämän jälkeen valonsäde heijastuu takaisin, ja paluumatkalle sen paikka voidaan kirjoittaa \(x_v(t) = x_1 - c(t-t_1)\). Valo saavuttaa takaseinän hetkellä \(t_2\), kun paikat ovat samat, eli \(x_v(t_2) = x_t(t_2)\). Kirjoitetaan yhtälö valon paluun ajanhetkelle \(t_2\)
\(\displaystyle x_1 - c(t_2 - t_1) = vt_2\)
jonka ratkaisu (sijoitetaan \(x_1\) ja \(t_1\))
\(\displaystyle t_2 = \frac{x_1 + c t_1}{c+v} = \frac{2cL}{(c+v)(c-v)}\).
Näissä lausekkeissa on vielä tuo L, joka on vaunun pituus laiturin K koordinaateilla. Lepopituus oli \(L'\), ja K:ssa pituus on kontraktoitunut, joten \(L = L'/\gamma\). Sijoitetaan edellisiin, ja saadaan
\(\begin{align}
t_1 &= \frac{L'}{\gamma(c-v)} \\\\
t_2 &= \frac{2 \gamma L'}{c}
\end{align}\)
Ja lopuksi vielä meno- ja paluuajat laiturin K koordinaateilla
\(\begin{align}
\Delta t_m &= t_1 - t_0 = \frac{L'}{\gamma(c-v)}\\\\
\Delta t_p &= t_2 - t_1 = \frac{L'}{\gamma(c+v)}
\end{align}\)
Selvästi nähdään, että \(\gamma\):lla kertominen ja jakaminen ei anna oikeaa tulosta lepokoordinaatiston ajoille, jotka ovat tietysti \(\Delta t'_m = \Delta t'_p=\frac{L'}{c}\).
No, miten näistä yhtälöistä Δ𝑡𝑚 ja Δ𝑡𝑝 muunnetaan Δ𝑡'𝑚 ja Δ𝑡'𝑝 oikein, että tulevat yhtä suuriksi?QS kirjoitti: ↑12.1.2026, 17:35Minäpä lasken tämän sinulle ihan mekaanisesti, ja ilman Lorentz-muunnoksia, jotta huomaat, että \(\gamma\):lla kertominen/jakaminen ei ole oikea tapa tehdä suheellisuusteoriaa.Kontra kirjoitti: ↑12.1.2026, 14:33Vaunun pituus L = 30 m. Vaunun takaseinässä on lamppu ja etuseinässä peili.
...
Kun vaunu lähtee liikkeelle, laiturin koordinaatistossa etuseinän peili karkaa valon edellä, jolloin tm > 0,1 µs,
ja takaseinä lähestyy peilistä heijastunutta valoa vastaan, jolloin tp < 0,1 µs.
Vaunun koordinaatistossa t’m = tm/𝛾 = 0,1 µs ja t’p = tp·𝛾 = 0,1 µs .
Laiturin koordinaatisto on K(t,x) ja vaunun K'(t',x'). Lepokoordinaateilla vaunun pituus on \(L'=30\).
K:ssa tarkasteltuna valo lähtee paikasta \((t,x)= (0,0)\) nopeudella c, ja saavuttaa nopeudella v liikkuvan etuseinän hetkellä \(t_1\), ja paikassa \(x_1\), eli siis tapahtumassa \((t_1,x_1)\). Etuseinä on hetkellä \(t=0\) paikassa \(x=L\) (K:ssa mitattu vaunun pituus L).
Valonsäteen paikka voidaan kirjoittaa \(x_v(t) = ct\), liikkuvan vaunun etuseinän paikka \(x_e(t) = L + vt\), ja liikkuvan vaunun takaseinän paikka \(x_t(t)=vt\).
Valo saavuttaa etuseinän, kun \(x_v(t_1) = x_e(t_1)\). Siispä kirjoitetaan yhtälö \(c t_1 = L + v t_1\), ja ratkaistaan
\(\displaystyle t_1 = \frac{L}{c-v}\).
Tämä on hetki, jolloin valo saavuttaa etuseinän, kun tapahtumaa tarkastellaan K:ssa. Kun \(t_1\) sijoitetaan lausekkeeseen \(x_v(t)=ct\), niin saadaan paikka, jossa valo saavuttaa etuseinän
\(\displaystyle x_1 = c t_1 = \frac{cL}{c-v}\).
Valon saavuttaa siis etuseinän tapahtumassa \(\displaystyle (t_1, x_1) = \left(\frac{L}{c-v}, \frac{cL}{c-v}\right)\).
Tämän jälkeen valonsäde heijastuu takaisin, ja paluumatkalle sen paikka voidaan kirjoittaa \(x_v(t) = x_1 - c(t-t_1)\). Valo saavuttaa takaseinän hetkellä \(t_2\), kun paikat ovat samat, eli \(x_v(t_2) = x_t(t_2)\). Kirjoitetaan yhtälö valon paluun ajanhetkelle \(t_2\)
\(\displaystyle x_1 - c(t_2 - t_1) = vt_2\)
jonka ratkaisu (sijoitetaan \(x_1\) ja \(t_1\))
\(\displaystyle t_2 = \frac{x_1 + c t_1}{c+v} = \frac{2cL}{(c+v)(c-v)}\).
Näissä lausekkeissa on vielä tuo L, joka on vaunun pituus laiturin K koordinaateilla. Lepopituus oli \(L'\), ja K:ssa pituus on kontraktoitunut, joten \(L = L'/\gamma\). Sijoitetaan edellisiin, ja saadaan
\(\begin{align}
t_1 &= \frac{L'}{\gamma(c-v)} \\\\
t_2 &= \frac{2 \gamma L'}{c}
\end{align}\)
Ja lopuksi vielä meno- ja paluuajat laiturin K koordinaateilla
\(\begin{align}
\Delta t_m &= t_1 - t_0 = \frac{L'}{\gamma(c-v)}\\\\
\Delta t_p &= t_2 - t_1 = \frac{L'}{\gamma(c+v)}
\end{align}\)
Selvästi nähdään, että \(\gamma\):lla kertominen ja jakaminen ei anna oikeaa tulosta lepokoordinaatiston ajoille, jotka ovat tietysti \(\Delta t'_m = \Delta t'_p=\frac{L'}{c}\).
Jos minä kerron ne 𝛾:lla, eihän niistä yhtä suuria tule.
Aikavälit vaunun koordinaatistossa K' ovatKontra kirjoitti: ↑12.1.2026, 18:45No, miten näistä yhtälöistä Δ𝑡𝑚 ja Δ𝑡𝑝 muunnetaan Δ𝑡'𝑚 ja Δ𝑡'𝑝 oikein, että tulevat yhtä suuriksi?QS kirjoitti: ↑12.1.2026, 17:35Minäpä lasken tämän sinulle ihan mekaanisesti, ja ilman Lorentz-muunnoksia, jotta huomaat, että \(\gamma\):lla kertominen/jakaminen ei ole oikea tapa tehdä suheellisuusteoriaa.Kontra kirjoitti: ↑12.1.2026, 14:33Vaunun pituus L = 30 m. Vaunun takaseinässä on lamppu ja etuseinässä peili.
...
Kun vaunu lähtee liikkeelle, laiturin koordinaatistossa etuseinän peili karkaa valon edellä, jolloin tm > 0,1 µs,
ja takaseinä lähestyy peilistä heijastunutta valoa vastaan, jolloin tp < 0,1 µs.
Vaunun koordinaatistossa t’m = tm/𝛾 = 0,1 µs ja t’p = tp·𝛾 = 0,1 µs .
Laiturin koordinaatisto on K(t,x) ja vaunun K'(t',x'). Lepokoordinaateilla vaunun pituus on \(L'=30\).
K:ssa tarkasteltuna valo lähtee paikasta \((t,x)= (0,0)\) nopeudella c, ja saavuttaa nopeudella v liikkuvan etuseinän hetkellä \(t_1\), ja paikassa \(x_1\), eli siis tapahtumassa \((t_1,x_1)\). Etuseinä on hetkellä \(t=0\) paikassa \(x=L\) (K:ssa mitattu vaunun pituus L).
Valonsäteen paikka voidaan kirjoittaa \(x_v(t) = ct\), liikkuvan vaunun etuseinän paikka \(x_e(t) = L + vt\), ja liikkuvan vaunun takaseinän paikka \(x_t(t)=vt\).
Valo saavuttaa etuseinän, kun \(x_v(t_1) = x_e(t_1)\). Siispä kirjoitetaan yhtälö \(c t_1 = L + v t_1\), ja ratkaistaan
\(\displaystyle t_1 = \frac{L}{c-v}\).
Tämä on hetki, jolloin valo saavuttaa etuseinän, kun tapahtumaa tarkastellaan K:ssa. Kun \(t_1\) sijoitetaan lausekkeeseen \(x_v(t)=ct\), niin saadaan paikka, jossa valo saavuttaa etuseinän
\(\displaystyle x_1 = c t_1 = \frac{cL}{c-v}\).
Valon saavuttaa siis etuseinän tapahtumassa \(\displaystyle (t_1, x_1) = \left(\frac{L}{c-v}, \frac{cL}{c-v}\right)\).
Tämän jälkeen valonsäde heijastuu takaisin, ja paluumatkalle sen paikka voidaan kirjoittaa \(x_v(t) = x_1 - c(t-t_1)\). Valo saavuttaa takaseinän hetkellä \(t_2\), kun paikat ovat samat, eli \(x_v(t_2) = x_t(t_2)\). Kirjoitetaan yhtälö valon paluun ajanhetkelle \(t_2\)
\(\displaystyle x_1 - c(t_2 - t_1) = vt_2\)
jonka ratkaisu (sijoitetaan \(x_1\) ja \(t_1\))
\(\displaystyle t_2 = \frac{x_1 + c t_1}{c+v} = \frac{2cL}{(c+v)(c-v)}\).
Näissä lausekkeissa on vielä tuo L, joka on vaunun pituus laiturin K koordinaateilla. Lepopituus oli \(L'\), ja K:ssa pituus on kontraktoitunut, joten \(L = L'/\gamma\). Sijoitetaan edellisiin, ja saadaan
\(\begin{align}
t_1 &= \frac{L'}{\gamma(c-v)} \\\\
t_2 &= \frac{2 \gamma L'}{c}
\end{align}\)
Ja lopuksi vielä meno- ja paluuajat laiturin K koordinaateilla
\(\begin{align}
\Delta t_m &= t_1 - t_0 = \frac{L'}{\gamma(c-v)}\\\\
\Delta t_p &= t_2 - t_1 = \frac{L'}{\gamma(c+v)}
\end{align}\)
Selvästi nähdään, että \(\gamma\):lla kertominen ja jakaminen ei anna oikeaa tulosta lepokoordinaatiston ajoille, jotka ovat tietysti \(\Delta t'_m = \Delta t'_p=\frac{L'}{c}\).
\(\begin{align}
\Delta t'_m = t'_1 - t'_0 \\
\Delta t'_p = t'_2 - t'_1
\end{align}\)
Nuo \(t'\)-koordinaatit saadaan Lorentz-muunnoksena K -> K'.
\(\displaystyle t' = \gamma\left(t - \frac{v x}{c^2}\right)\)
Muunnokseen tarvitaan edellisen viestin aikojen ja paikkojen lisäksi \(x_2\), joka on siis valonsäteen paikka paluuhetkellä \(t_2\). Tämä saadaan helposti takaseinän paikan kaavasta
\(\displaystyle x_2 = x_t(t_2) = v t_2 = \frac{2cLv}{(c+v)(c-v)}\).
Muunnetut aika-koordinaatit ovat
\(\begin{align}
t'_0 &= \gamma\left(t_0 - \frac{v x_0}{c^2}\right)=0 \\
t'_1 &= \gamma\left(t_1 - \frac{v x_1}{c^2}\right) = \gamma\left(\frac{L}{c-v} - \frac{vcL}{c^2(c-v)}\right) = \frac{\gamma L}{c-v}\left(1-\frac{v}{c}\right) = \frac{\gamma L}{c}=\frac{L'}{c} \\
t'_2 &=\gamma\left(t_2 - \frac{v x_2}{c^2}\right) = \gamma\left(\frac{2cL}{(c+v)(c-v)} - \frac{2cLv}{c^2(c+v)(c-v)}\right) = ... = \frac{2\gamma L}{c} = \frac{2L'}{c}
\end{align}\)
ja näistä lasketaan
\(\begin{align}
\Delta t'_m = t'_1 - t'_0 = \frac{L'}{c}\\\\
\Delta t'_p = t'_2 - t'_1 = \frac{L'}{c}
\end{align}\)
missä \(L'\) on vaunun lepopituus. Jos tehtäisiin Lorentz-muunnos paikkakoordinaateille, niin tuloksena olisi \(x'_0=0\), \(x'_1 = L'\) ja \(x'_2 = 0\).
Tämä on hieno homma. Ihan oleellinen asia suhtiksen ymmärtämisessä.QS kirjoitti: ↑12.1.2026, 20:20Aikavälit vaunun koordinaatistossa K' ovatKontra kirjoitti: ↑12.1.2026, 18:45No, miten näistä yhtälöistä Δ𝑡𝑚 ja Δ𝑡𝑝 muunnetaan Δ𝑡'𝑚 ja Δ𝑡'𝑝 oikein, että tulevat yhtä suuriksi?QS kirjoitti: ↑12.1.2026, 17:35Minäpä lasken tämän sinulle ihan mekaanisesti, ja ilman Lorentz-muunnoksia, jotta huomaat, että \(\gamma\):lla kertominen/jakaminen ei ole oikea tapa tehdä suheellisuusteoriaa.Kontra kirjoitti: ↑12.1.2026, 14:33Vaunun pituus L = 30 m. Vaunun takaseinässä on lamppu ja etuseinässä peili.
...
Kun vaunu lähtee liikkeelle, laiturin koordinaatistossa etuseinän peili karkaa valon edellä, jolloin tm > 0,1 µs,
ja takaseinä lähestyy peilistä heijastunutta valoa vastaan, jolloin tp < 0,1 µs.
Vaunun koordinaatistossa t’m = tm/𝛾 = 0,1 µs ja t’p = tp·𝛾 = 0,1 µs .
Laiturin koordinaatisto on K(t,x) ja vaunun K'(t',x'). Lepokoordinaateilla vaunun pituus on \(L'=30\).
K:ssa tarkasteltuna valo lähtee paikasta \((t,x)= (0,0)\) nopeudella c, ja saavuttaa nopeudella v liikkuvan etuseinän hetkellä \(t_1\), ja paikassa \(x_1\), eli siis tapahtumassa \((t_1,x_1)\). Etuseinä on hetkellä \(t=0\) paikassa \(x=L\) (K:ssa mitattu vaunun pituus L).
Valonsäteen paikka voidaan kirjoittaa \(x_v(t) = ct\), liikkuvan vaunun etuseinän paikka \(x_e(t) = L + vt\), ja liikkuvan vaunun takaseinän paikka \(x_t(t)=vt\).
Valo saavuttaa etuseinän, kun \(x_v(t_1) = x_e(t_1)\). Siispä kirjoitetaan yhtälö \(c t_1 = L + v t_1\), ja ratkaistaan
\(\displaystyle t_1 = \frac{L}{c-v}\).
Tämä on hetki, jolloin valo saavuttaa etuseinän, kun tapahtumaa tarkastellaan K:ssa. Kun \(t_1\) sijoitetaan lausekkeeseen \(x_v(t)=ct\), niin saadaan paikka, jossa valo saavuttaa etuseinän
\(\displaystyle x_1 = c t_1 = \frac{cL}{c-v}\).
Valon saavuttaa siis etuseinän tapahtumassa \(\displaystyle (t_1, x_1) = \left(\frac{L}{c-v}, \frac{cL}{c-v}\right)\).
Tämän jälkeen valonsäde heijastuu takaisin, ja paluumatkalle sen paikka voidaan kirjoittaa \(x_v(t) = x_1 - c(t-t_1)\). Valo saavuttaa takaseinän hetkellä \(t_2\), kun paikat ovat samat, eli \(x_v(t_2) = x_t(t_2)\). Kirjoitetaan yhtälö valon paluun ajanhetkelle \(t_2\)
\(\displaystyle x_1 - c(t_2 - t_1) = vt_2\)
jonka ratkaisu (sijoitetaan \(x_1\) ja \(t_1\))
\(\displaystyle t_2 = \frac{x_1 + c t_1}{c+v} = \frac{2cL}{(c+v)(c-v)}\).
Näissä lausekkeissa on vielä tuo L, joka on vaunun pituus laiturin K koordinaateilla. Lepopituus oli \(L'\), ja K:ssa pituus on kontraktoitunut, joten \(L = L'/\gamma\). Sijoitetaan edellisiin, ja saadaan
\(\begin{align}
t_1 &= \frac{L'}{\gamma(c-v)} \\\\
t_2 &= \frac{2 \gamma L'}{c}
\end{align}\)
Ja lopuksi vielä meno- ja paluuajat laiturin K koordinaateilla
\(\begin{align}
\Delta t_m &= t_1 - t_0 = \frac{L'}{\gamma(c-v)}\\\\
\Delta t_p &= t_2 - t_1 = \frac{L'}{\gamma(c+v)}
\end{align}\)
Selvästi nähdään, että \(\gamma\):lla kertominen ja jakaminen ei anna oikeaa tulosta lepokoordinaatiston ajoille, jotka ovat tietysti \(\Delta t'_m = \Delta t'_p=\frac{L'}{c}\).
\(\begin{align}
\Delta t'_m = t'_1 - t'_0 \\
\Delta t'_p = t'_2 - t'_1
\end{align}\)
Nuo \(t'\)-koordinaatit saadaan Lorentz-muunnoksena K -> K'.
\(\displaystyle t' = \gamma\left(t - \frac{v x}{c^2}\right)\)
Muunnokseen tarvitaan edellisen viestin aikojen ja paikkojen lisäksi \(x_2\), joka on siis valonsäteen paikka paluuhetkellä \(t_2\). Tämä saadaan helposti takaseinän paikan kaavasta
\(\displaystyle x_2 = x_t(t_2) = v t_2 = \frac{2cLv}{(c+v)(c-v)}\).
Muunnetut aika-koordinaatit ovat
\(\begin{align}
t'_0 &= \gamma\left(t_0 - \frac{v x_0}{c^2}\right)=0 \\
t'_1 &= \gamma\left(t_1 - \frac{v x_1}{c^2}\right) = \gamma\left(\frac{L}{c-v} - \frac{vcL}{c^2(c-v)}\right) = \frac{\gamma L}{c-v}\left(1-\frac{v}{c}\right) = \frac{\gamma L}{c}=\frac{L'}{c} \\
t'_2 &=\gamma\left(t_2 - \frac{v x_2}{c^2}\right) = \gamma\left(\frac{2cL}{(c+v)(c-v)} - \frac{2cLv}{c^2(c+v)(c-v)}\right) = ... = \frac{2\gamma L}{c} = \frac{2L'}{c}
\end{align}\)
ja näistä lasketaan
\(\begin{align}
\Delta t'_m = t'_1 - t'_0 = \frac{L'}{c}\\\\
\Delta t'_p = t'_2 - t'_1 = \frac{L'}{c}
\end{align}\)
missä \(L'\) on vaunun lepopituus. Jos tehtäisiin Lorentz-muunnos paikkakoordinaateille, niin tuloksena olisi \(x'_0=0\), \(x'_1 = L'\) ja \(x'_2 = 0\).
Valon liike tasaisesti liikkuvassa koordinaatistossa ei ole itsestään selvä asia. Kun valon kulkuaika sekä meno- että paluusuuntaan on yhtä suuri, koordinaatiston liikkeestä huolimatta, voi ihmetyttää, mutta tuossa se on osoitettu.
.......
Tallentaisin nuo yhtälöt itselleni, mutta tuossa muodossa se ei onnistu. Milläs ohjelmalla ne kirjoitit, ja miten ne saa tallennetuksi?
Pitää korjata tuo asia suhtisesitykseeni. Nuo laskelmat voin liittää osoitteena, jos joku haluaa ne kahlata läpi.
Ne on kirjoitettu LaTeX syntaksilla, jonka sivusto renderöi näytölle. Enempää en osaa sanoa teknologiasta, mutta ominaisuuden saa esim Microsoft Wordiin.
Voisin sen sijaan pauhata \(\gamma\):lla jakamisesta ja kertomisesta. Lorentzmuunnokset voidaan kirjoittaa myös aikavälille \(\Delta t\) ja etäisyyvälille \(\Delta x\) seuraavasti
\(\begin{align}
\Delta t' &= \gamma\left(\Delta t - v \Delta x/c^2\right) \\
\Delta x' & = \gamma\left(\Delta x - v \Delta t\right)
\end{align}\)
Kun aikaväli \(\Delta t\) mitataan siten, että avarauudellinen väli \(\Delta x\) ei muutu (on nolla), tai vastaavasti avaruudellinen väli \(\Delta x\) mitataan siten, että aikaväli \(\Delta t\) ei muutu (on nolla), niin Lorentz-muunnokset ovat
\(\begin{align}
\Delta t' &= \gamma \Delta t \\
\Delta x' & = \gamma \Delta x
\end{align}\)
Vain tässä erikoistapauksessa \(\gamma\):lla kertominen/jakaminen on oikea toimenpide. Ensiksi mainittu on aikadilataatio ja jälkimmäinen on pituuskontraktio. Pituuskontraktiossa kahden pisteen välinen etäisyys mitataan samanaikaisesti, ja aikadilataatiossa kahden ajanhetken väli mitataan samanpaikkaisesti.
QS
Onko sulla ne edellä esittämäsi laskelmat valon liikkeestä junanvaunussa wordina? Jos on, laittasitko ne kommentin liitteeksi.
Sitä LaTexia ei ole minun wordissa, tai en ainakaan löydä sitä, jos olisikin, joutuisin varmaan kirjoittamalla kopioimaan kommenttisi kokonaan.
LaTexin lataaminen on mulle hepreaa, kun minä vaan kirjoittelen. En ala yrittääkään lataamista, kun saatan sekottaa koko systeemin virheellisellä näpelöinnillä.
Onko sulla ne edellä esittämäsi laskelmat valon liikkeestä junanvaunussa wordina? Jos on, laittasitko ne kommentin liitteeksi.
Sitä LaTexia ei ole minun wordissa, tai en ainakaan löydä sitä, jos olisikin, joutuisin varmaan kirjoittamalla kopioimaan kommenttisi kokonaan.
LaTexin lataaminen on mulle hepreaa, kun minä vaan kirjoittelen. En ala yrittääkään lataamista, kun saatan sekottaa koko systeemin virheellisellä näpelöinnillä.