Fysiikan kaavalotto

[Varaktori]

\(\Delta \varphi + \frac{1}{4}R \varphi = \lambda \varphi\)
Tässä vielä bonuksena tämmöinen hauska.

\((\Delta + \frac{1}{4}R) \varphi = \lambda \varphi\)

Näyttää lähes Laplaceoperaattorin ominaisarvolta. Tunnustan, että jouduin googlaamaan, kun en ole moista nähnyt, mutta R viittaa epäeuklidiseen geometriaan. Ja Riemannin geometriaan tämä tosiaan liittyy. Enempää en osaa sanoa.

Tähän saattaa törmätä kvanttifysiikan ja kenttäteorioiden konteksteissa, mutta itsellä oli tuota kirjoittaessa mielessä differentiaaligeometria ja erityisesti Ricci-virtaus. Tämä on eigenvalue-yhtälö.

Niin on. Mutta onko olemassa jokin fysikaalinen tilanne, jossa juuri tuo yhtälö pätee?

Olisiko tuo tullut vastaan metristen muutosten etsinnässä Riemannin monistolta niin, että skalaarikaarevuus on vakio. Oli mulla siihen jokin lähdekin mistä nappasin, pitää kaivella.

[Eusa]

Otetaan vähän helpompi. Kuvaus

\(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}\)

on lineaarinen. M on sileä monisto, jonka käyrä \(\gamma:\mathbb{R}\to M\). Lisäksi \(p\in M\) ja \(\gamma(\lambda)=p\), missä \(\lambda\) on käyräparametri. Oletetaan sileä funktio \(f:M\to\mathbb{R}\). Määritellään kuvaus

\(f\mapsto u_{\gamma,p}(f):=(f\circ\gamma)'(\lambda).\)

Minkä nimen antaisit \(u_{\gamma,p}\):lle ?

Olisiko tangenttitasoavaruus eräässä sileän moniston pisteessä?

Tangenttiavaruuden määrittelyyn tarvitaan edellisen lisäksi muutakin. Mutta oikeillä jäljillä kyllä.

Ainakin tulee pisteellinen derivaatta suuntavektorina. Arvoin, josko notaation voisi tulkita käyvän ne kaikki läpi ja kuvaavan suuntavektorien nipun eli tason...

[QS]

..suuntavektorina...

Mutta minkä vektoriavaruuden vektori?

...kaikki läpi ja kuvaavan suuntavektorien nipun...

Notaatio tuolle olisi esim. joukko S = {... | kaikki pisteen p kautta kulkevat käyrät \(\gamma\)}

[Eusa]

..suuntavektorina...

Mutta minkä vektoriavaruuden vektori?

Hm. Olisiko siis suuntatensori tangenttiavaruudessa, jonka dimensio on sama kuin moniston M? 

No, käyrän kanssa pelaaminen... jaa-a.

[QS]

..suuntavektorina...

Mutta minkä vektoriavaruuden vektori?

Hm. Olisiko siis suuntatensori tangenttiavaruudessa, jonka dimensio on sama kuin moniston M?

No, käyrän kanssa pelaaminen... jaa-a.

Tensoritkin asuvat vektoriavaruudessa, mutta alkuperäisessä viestissäni tangenttiavaruutta tai muutakaan vektoriavaruutta ei vielä ole määritelty. Se voidaan toki tehdä, mutta on homma erikseen.

Kysytyn otuksen sanallista nimeämistä pitääkin siksi miettiä kohtuu tarkkaan. Vastaus on kuitenkin ihan helppo ja selkeä.

[Varaktori]

Tangenttivektoreitako täällä ihmetellään?

[Eusa]

..suuntavektorina...

Mutta minkä vektoriavaruuden vektori?

Hm. Olisiko siis suuntatensori tangenttiavaruudessa, jonka dimensio on sama kuin moniston M?

No, käyrän kanssa pelaaminen... jaa-a.

Tensoritkin asuvat vektoriavaruudessa, mutta alkuperäisessä viestissäni tangenttiavaruutta tai muutakaan vektoriavaruutta ei vielä ole määritelty. Se voidaan toki tehdä, mutta on homma erikseen.

Kysytyn otuksen sanallista nimeämistä pitääkin siksi miettiä kohtuu tarkkaan. Vastaus on kuitenkin ihan helppo ja selkeä.

Jos se sitten on vain derivaatta, lukuarvo R:ssä, skalaari...

[QS]

..suuntavektorina...

Mutta minkä vektoriavaruuden vektori?

Hm. Olisiko siis suuntatensori tangenttiavaruudessa, jonka dimensio on sama kuin moniston M?

No, käyrän kanssa pelaaminen... jaa-a.

Tensoritkin asuvat vektoriavaruudessa, mutta alkuperäisessä viestissäni tangenttiavaruutta tai muutakaan vektoriavaruutta ei vielä ole määritelty. Se voidaan toki tehdä, mutta on homma erikseen.

Kysytyn otuksen sanallista nimeämistä pitääkin siksi miettiä kohtuu tarkkaan. Vastaus on kuitenkin ihan helppo ja selkeä.

Jos se sitten on vain derivaatta, lukuarvo R:ssä, skalaari...

Kyllä, \(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}\), joten se on skalaari.

Tämä on erikoinen määritelmällinen pilkunhionta-kysymys, jonka takia sen esitin. Joissakin matematiikan lähteissäkin \(u_{\gamma,p}\) nimetään 'tangenttivektoriksi'. Mutta ei kaikissa.

Jos määrittely olisi \(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}^n\), niin kyseessä (ainakin näyttäisi) olevan n-dimensioisen vektoriavaruuden vektori, jolloin vektori-sana olisi ihan perusteltu ainakin kun samalla \(dim(M)=n\).

On kyllä mahdollista puhua abstraktista vektorista, jota ei lausuta minkään vektoriavaruuden kantavektorijoukolla. Mutta kun vektori on abstrakti, niin se ei voi olla \(\mathbb{R}\):n alkio, joka on tosiaan skalaari eikä siis abstrakti vektori. Tämäkään ei vektori-nimitystä puolla.

Jätän tämän nyt vielä tähän roikkumaan ilman että kerron oman vastaukseni.

[Eusa]

..suuntavektorina...

Mutta minkä vektoriavaruuden vektori?

Hm. Olisiko siis suuntatensori tangenttiavaruudessa, jonka dimensio on sama kuin moniston M?

No, käyrän kanssa pelaaminen... jaa-a.

Tensoritkin asuvat vektoriavaruudessa, mutta alkuperäisessä viestissäni tangenttiavaruutta tai muutakaan vektoriavaruutta ei vielä ole määritelty. Se voidaan toki tehdä, mutta on homma erikseen.

Kysytyn otuksen sanallista nimeämistä pitääkin siksi miettiä kohtuu tarkkaan. Vastaus on kuitenkin ihan helppo ja selkeä.

Jos se sitten on vain derivaatta, lukuarvo R:ssä, skalaari...

Kyllä, \(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}\), joten se on skalaari.

Tämä on erikoinen määritelmällinen pilkunhionta-kysymys, jonka takia sen esitin. Joissakin matematiikan lähteissäkin \(u_{\gamma,p}\) nimetään 'tangenttivektoriksi'. Mutta ei kaikissa.

Jos määrittely olisi \(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}^n\), niin kyseessä (ainakin näyttäisi) olevan n-dimensioisen vektoriavaruuden vektori, jolloin vektori-sana olisi ihan perusteltu ainakin kun samalla \(dim(M)=n\).

On kyllä mahdollista puhua abstraktista vektorista, jota ei lausuta minkään vektoriavaruuden kantavektorijoukolla. Mutta kun vektori on abstrakti, niin se ei voi olla \(\mathbb{R}\):n alkio, joka on tosiaan skalaari eikä siis abstrakti vektori. Tämäkään ei vektori-nimitystä puolla.

Jätän tämän nyt vielä tähän roikkumaan ilman että kerron oman vastaukseni.

Arvaan "rapiditeetti". Näyttää, että lukuarvo kuvaa käyrän suunnassa tapahtuvaa muutosvauhtia. Se voi saada mielivaltaisen suuria arvoja, niin fyysikkona en nimittelisi vauhdiksi.

[QS]

Mutta minkä vektoriavaruuden vektori?

Hm. Olisiko siis suuntatensori tangenttiavaruudessa, jonka dimensio on sama kuin moniston M?

No, käyrän kanssa pelaaminen... jaa-a.

Tensoritkin asuvat vektoriavaruudessa, mutta alkuperäisessä viestissäni tangenttiavaruutta tai muutakaan vektoriavaruutta ei vielä ole määritelty. Se voidaan toki tehdä, mutta on homma erikseen.

Kysytyn otuksen sanallista nimeämistä pitääkin siksi miettiä kohtuu tarkkaan. Vastaus on kuitenkin ihan helppo ja selkeä.

Jos se sitten on vain derivaatta, lukuarvo R:ssä, skalaari...

Kyllä, \(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}\), joten se on skalaari.

Tämä on erikoinen määritelmällinen pilkunhionta-kysymys, jonka takia sen esitin. Joissakin matematiikan lähteissäkin \(u_{\gamma,p}\) nimetään 'tangenttivektoriksi'. Mutta ei kaikissa.

Jos määrittely olisi \(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}^n\), niin kyseessä (ainakin näyttäisi) olevan n-dimensioisen vektoriavaruuden vektori, jolloin vektori-sana olisi ihan perusteltu ainakin kun samalla \(dim(M)=n\).

On kyllä mahdollista puhua abstraktista vektorista, jota ei lausuta minkään vektoriavaruuden kantavektorijoukolla. Mutta kun vektori on abstrakti, niin se ei voi olla \(\mathbb{R}\):n alkio, joka on tosiaan skalaari eikä siis abstrakti vektori. Tämäkään ei vektori-nimitystä puolla.

Jätän tämän nyt vielä tähän roikkumaan ilman että kerron oman vastaukseni.

Näyttää, että lukuarvo kuvaa käyrän suunnassa tapahtuvaa muutosvauhtia.

...en nimittelisi vauhdiksi.

Kyllä. \(u_{\gamma,p}\) ilmaisee funktion f arvon muutoksen nopeuden käyrän \(\gamma\) suunnassa. Tässä \(f\) derivoidaan \(\lambda\):n suhteen, ja tuon derivaatan suunta on sama kuin käyrän \(\gamma\). Eräänlainen suuntaderivaatta.

Fysiikassa otuksen nimitys on joskus 'nopeus', joka on kuitenkin hiukan eri asia kuin 'nopeusvektori'. Nopeusvektorin määrittely vaatii M:n tangettiavaruuden. Tangenttiavaruus voidaan esimerkiksi indusoida paikallisesta koordinaatistosta, johon moniston pisteet p kuvataan koordinaattifunktioilla.

'Vauhti' ei tässä ole myöskään oikea nimitys, sillä se vaatii sisätulolla varustetun tangenttiavaruuden, jotta nopeusvektorin pituus voidaan ylipäänsä määritellä.