Kiihtyvyyden merkitys kaksosparadoksissa

[Eusa]

Esität toivotonta. Heti kun jokin vuorovaikuttaa ja energialaji vaihtuu, aika-avaruus ei ole enää laakea. Kaksoset eivät voi yhtä aikaa pysyä suljettuina järjestelminä ja palata toistensa luokse.

Laakea se on Rindler-metriikkakin. Hiukkaskiihdyttymessä saadaan helposti aikaan 30-kertainen elinikä, joka on seuraus suuresta ratanopeudesta.

On vielä opiskeltavaa. Rindler-metriikka on laakea vain avaruudellisesti, mutta ei ajallisesti.

Rindler-metriikka on laakea. Kokonaisuudesta irrotettu aika-dimensio ei sekään, ja varsinkaan se, kaareudu mihinkään.

Pysähdyin tien varteen seikkaperäistin lyhyttä lausuntaani edelliseen.

Rindler-esitys on siis vain liikkeen seuraamista inertiaalihavaitsijan laakeassa koordinaatistossa. Oikeasti metriikan fysikaalinen merkitys on kiihtyvän Rindler-havaitsijan mukana ei-inertiaalisessa koordinaatistossa ja vasta vuorovaikutusosapuoli huomioituna päästään tutkimaan mitä aika-avaruuden kokonaisuus on.

Mitä LHC:n kiihdyttimeen tulee, sehän vallan kaarevaa jatkumoa tuottaa kiihdytettävän hiukkasen fysiikassa.

Tähän totean vain, että se Rindler-metriikka on tosiaan laakea. Hiukkaskiihdyttimessä nimensä mukaiset hiukkaset eivät kaareuta aika-avaruutta mihinkään. Kyseessä on jopa erittäin laakea avaruus, ja riippumatta mistä sitä tarkastelee.

Ihan puhtaasti suurella ratanopeudella saadaan aikaan monikymmen-kertainen ikääntyminen. Vastaava kaarevan avaruuden aikadilataatiokerroin vaatisi erittäin suuren neutronitähden (jos sekään riittää). Tuon suuruusluokan energia-impulssitensoreita ei ole kiihdyttimien läheisyydessä raportoitu.

Vaikka Rindler-metriikka kuvaa tasaisesti kiihtyvää havaitsijaa laakeassa Minkowskin avaruudessa, se ei itsessään ole laakea. Kiihtyvän havaitsijan näkökulmasta metriikka sisältää ajallisen kaarevuuden komponentin.

 

On totta, että hiukkaskiihdyttimissä liikkuvat hiukkaset eivät merkittävästi kaareuta aika-avaruutta koko ympäristön kannalta. Kuitenkin kiihtyvyyden vaikutukset ovat hiukkasten omassa viitekehyksessä suhteellisesti hyvin merkittäviä.

[QS]

Laakea se on Rindler-metriikkakin. Hiukkaskiihdyttymessä saadaan helposti aikaan 30-kertainen elinikä, joka on seuraus suuresta ratanopeudesta.

On vielä opiskeltavaa. Rindler-metriikka on laakea vain avaruudellisesti, mutta ei ajallisesti.

Rindler-metriikka on laakea. Kokonaisuudesta irrotettu aika-dimensio ei sekään, ja varsinkaan se, kaareudu mihinkään.

Pysähdyin tien varteen seikkaperäistin lyhyttä lausuntaani edelliseen.

Rindler-esitys on siis vain liikkeen seuraamista inertiaalihavaitsijan laakeassa koordinaatistossa. Oikeasti metriikan fysikaalinen merkitys on kiihtyvän Rindler-havaitsijan mukana ei-inertiaalisessa koordinaatistossa ja vasta vuorovaikutusosapuoli huomioituna päästään tutkimaan mitä aika-avaruuden kokonaisuus on.

Mitä LHC:n kiihdyttimeen tulee, sehän vallan kaarevaa jatkumoa tuottaa kiihdytettävän hiukkasen fysiikassa.

Tähän totean vain, että se Rindler-metriikka on tosiaan laakea. Hiukkaskiihdyttimessä nimensä mukaiset hiukkaset eivät kaareuta aika-avaruutta mihinkään. Kyseessä on jopa erittäin laakea avaruus, ja riippumatta mistä sitä tarkastelee.

Ihan puhtaasti suurella ratanopeudella saadaan aikaan monikymmen-kertainen ikääntyminen. Vastaava kaarevan avaruuden aikadilataatiokerroin vaatisi erittäin suuren neutronitähden (jos sekään riittää). Tuon suuruusluokan energia-impulssitensoreita ei ole kiihdyttimien läheisyydessä raportoitu.

Vaikka Rindler-metriikka kuvaa tasaisesti kiihtyvää havaitsijaa laakeassa Minkowskin avaruudessa, se ei itsessään ole laakea. 

Mutta kun se on laakea. Itsekin olen kaarevuustensorit joskus laskenut, ja kaarevuus on tasan nolla. Musta ei puhumalla valkoiseksi muutu.

[Eusa]

On vielä opiskeltavaa. Rindler-metriikka on laakea vain avaruudellisesti, mutta ei ajallisesti.

Rindler-metriikka on laakea. Kokonaisuudesta irrotettu aika-dimensio ei sekään, ja varsinkaan se, kaareudu mihinkään.

Pysähdyin tien varteen seikkaperäistin lyhyttä lausuntaani edelliseen.

Rindler-esitys on siis vain liikkeen seuraamista inertiaalihavaitsijan laakeassa koordinaatistossa. Oikeasti metriikan fysikaalinen merkitys on kiihtyvän Rindler-havaitsijan mukana ei-inertiaalisessa koordinaatistossa ja vasta vuorovaikutusosapuoli huomioituna päästään tutkimaan mitä aika-avaruuden kokonaisuus on.

Mitä LHC:n kiihdyttimeen tulee, sehän vallan kaarevaa jatkumoa tuottaa kiihdytettävän hiukkasen fysiikassa.

Tähän totean vain, että se Rindler-metriikka on tosiaan laakea. Hiukkaskiihdyttimessä nimensä mukaiset hiukkaset eivät kaareuta aika-avaruutta mihinkään. Kyseessä on jopa erittäin laakea avaruus, ja riippumatta mistä sitä tarkastelee.

Ihan puhtaasti suurella ratanopeudella saadaan aikaan monikymmen-kertainen ikääntyminen. Vastaava kaarevan avaruuden aikadilataatiokerroin vaatisi erittäin suuren neutronitähden (jos sekään riittää). Tuon suuruusluokan energia-impulssitensoreita ei ole kiihdyttimien läheisyydessä raportoitu.

Vaikka Rindler-metriikka kuvaa tasaisesti kiihtyvää havaitsijaa laakeassa Minkowskin avaruudessa, se ei itsessään ole laakea.

Mutta kun se on laakea. Itsekin olen kaarevuustensorit joskus laskenut, ja kaarevuus on tasan nolla. Musta ei puhumalla valkoiseksi muutu.

Rindler-metriikka:
\(ds^2 = -\xi^2 d\tau^2 + d\xi^2 + dy^2 + dz^2\)

missä \(\xi\) on kiihtyvän havaitsijan etäisyys tapahtumahorisonttiin ja \(\tau\) on havaitsijan itseisaika.

Riemann-tensorin komponentit:
\(R^\alpha_{\beta\gamma\delta} = \partial_\gamma \Gamma^\alpha_{\beta\delta} - \partial_\delta \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} + \Gamma^\alpha_{\mu\gamma} \Gamma^\mu_{\beta\delta} - \Gamma^\alpha_{\mu\delta} \Gamma^\mu_{\beta\gamma}\)

Christoffelin symbolit:
\(\Gamma^0_{01} = \Gamma^0_{10} = \frac{1}{\xi}
\Gamma^1_{00} = \xi\)

Muut komponentit ovat nollia.

Nollasta poikkeavat Riemann-tensorin komponentit:
\(R^0_{101} = -R^0_{110} = R^1_{010} = -R^1_{001} = \frac{1}{\xi^2}\)

Ricci-tensori:
\(R_{00} = -\frac{1}{\xi^2}
R_{11} = \frac{1}{\xi^2}\)

Ricci-skalaari:
\(R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} = 0\)

Einstein-tensori:
\(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = R_{\mu\nu}\)

Huomataan, että Riemann-tensorin ja Ricci-tensorin komponentit eivät ole nollia, mikä osoittaa, että Rindler-metriikka sisältää kaarevuutta kiihtyvän havaitsijan näkökulmasta. Erityisesti aikaan liittyvät komponentit (\(R_{00}\) ja \(G_{00}\)) ovat muuta kuin nollia, mikä viittaa kaarevuuteen.

Vaikka Rindler-metriikka kuvaa tasaisesti kiihtyvää havaitsijaa laakeassa Minkowskin avaruudessa, kiihtyvän havaitsijan näkökulmasta metriikka sisältää kaarevuutta, joka ilmenee ajallisesta komponentista <> 0.

Ricci-skalaari R on nolla, mikä viittaa siihen, että kyseessä ei ole pallomainen gravitaatiokentän aiheuttama kaarevuus, vaan kiihtyvyyden aiheuttama kaarevuus. Tämä on yhdenmukaista ekvivalenssiperiaatteen kanssa. Lineaarikiihtyvyys tarkoittaa, ettei etäisyys Rindler-horisonttiin katoa ja jää ajallista kaarevuutta.

Yleisesti koordinaattiesityksiin pätee, että vaikka moniston sisäinen kaarevuus olisi mitä tahansa, sopivalla kurvilineaarisella koordinaatistovalinnalla voi saada näennäisesti laakean esityksen. Tässä Minkowskin laakeaan aika-avaruuteen esitetyt kurvilineaariset trajektorit ovat koordinaatistoesitys dynaamisesta ontologiasta, jolla on itsessään sisäistä (ajallista) kaarevuutta.

[QS]

Rindler-metriikka on laakea. Kokonaisuudesta irrotettu aika-dimensio ei sekään, ja varsinkaan se, kaareudu mihinkään.

Pysähdyin tien varteen seikkaperäistin lyhyttä lausuntaani edelliseen.

Rindler-esitys on siis vain liikkeen seuraamista inertiaalihavaitsijan laakeassa koordinaatistossa. Oikeasti metriikan fysikaalinen merkitys on kiihtyvän Rindler-havaitsijan mukana ei-inertiaalisessa koordinaatistossa ja vasta vuorovaikutusosapuoli huomioituna päästään tutkimaan mitä aika-avaruuden kokonaisuus on.

Mitä LHC:n kiihdyttimeen tulee, sehän vallan kaarevaa jatkumoa tuottaa kiihdytettävän hiukkasen fysiikassa.

Tähän totean vain, että se Rindler-metriikka on tosiaan laakea. Hiukkaskiihdyttimessä nimensä mukaiset hiukkaset eivät kaareuta aika-avaruutta mihinkään. Kyseessä on jopa erittäin laakea avaruus, ja riippumatta mistä sitä tarkastelee.

Ihan puhtaasti suurella ratanopeudella saadaan aikaan monikymmen-kertainen ikääntyminen. Vastaava kaarevan avaruuden aikadilataatiokerroin vaatisi erittäin suuren neutronitähden (jos sekään riittää). Tuon suuruusluokan energia-impulssitensoreita ei ole kiihdyttimien läheisyydessä raportoitu.

Vaikka Rindler-metriikka kuvaa tasaisesti kiihtyvää havaitsijaa laakeassa Minkowskin avaruudessa, se ei itsessään ole laakea.

Mutta kun se on laakea. Itsekin olen kaarevuustensorit joskus laskenut, ja kaarevuus on tasan nolla. Musta ei puhumalla valkoiseksi muutu.

Rindler-metriikka:
\(ds^2 = -\xi^2 d\tau^2 + d\xi^2 + dy^2 + dz^2\)

Tarkistetaan lasku nyt yksi vaihe kerrallaan. Kirjoittamasi ei ole Rindler-metriikka. Siitä puuttuu havaitsijan ominaiskiihtyvyys, ja lisäksi ominaisaika \(\tau\) on asetettu koordinaattiajaksi.

Rindler-metriikka olisi \(ds^2 = -\alpha^2\xi^2 dt^2 + d\xi^2 + dy^2 + dz^2\), missä \(\alpha\) on ominaiskiihtyvyys, ja koordinaatit \((t,\xi,y,z)\).

[Eusa]

Pysähdyin tien varteen seikkaperäistin lyhyttä lausuntaani edelliseen.

Rindler-esitys on siis vain liikkeen seuraamista inertiaalihavaitsijan laakeassa koordinaatistossa. Oikeasti metriikan fysikaalinen merkitys on kiihtyvän Rindler-havaitsijan mukana ei-inertiaalisessa koordinaatistossa ja vasta vuorovaikutusosapuoli huomioituna päästään tutkimaan mitä aika-avaruuden kokonaisuus on.

Mitä LHC:n kiihdyttimeen tulee, sehän vallan kaarevaa jatkumoa tuottaa kiihdytettävän hiukkasen fysiikassa.

Tähän totean vain, että se Rindler-metriikka on tosiaan laakea. Hiukkaskiihdyttimessä nimensä mukaiset hiukkaset eivät kaareuta aika-avaruutta mihinkään. Kyseessä on jopa erittäin laakea avaruus, ja riippumatta mistä sitä tarkastelee.

Ihan puhtaasti suurella ratanopeudella saadaan aikaan monikymmen-kertainen ikääntyminen. Vastaava kaarevan avaruuden aikadilataatiokerroin vaatisi erittäin suuren neutronitähden (jos sekään riittää). Tuon suuruusluokan energia-impulssitensoreita ei ole kiihdyttimien läheisyydessä raportoitu.

Vaikka Rindler-metriikka kuvaa tasaisesti kiihtyvää havaitsijaa laakeassa Minkowskin avaruudessa, se ei itsessään ole laakea.

Mutta kun se on laakea. Itsekin olen kaarevuustensorit joskus laskenut, ja kaarevuus on tasan nolla. Musta ei puhumalla valkoiseksi muutu.

Rindler-metriikka:
\(ds^2 = -\xi^2 d\tau^2 + d\xi^2 + dy^2 + dz^2\)

Tarkistetaan lasku nyt yksi vaihe kerrallaan. Kirjoittamasi ei ole Rindler-metriikka. Siitä puuttuu havaitsijan ominaiskiihtyvyys, ja lisäksi ominaisaika \(\tau\) on asetettu koordinaattiajaksi.

Rindler-metriikka olisi \(ds^2 = -\alpha^2\xi^2 dt^2 + d\xi^2 + dy^2 + dz^2\), missä \(\alpha\) on ominaiskiihtyvyys, ja koordinaatit \((t,\xi,y,z)\).

Esittämäni muoto Rindler-metriikalle on täysin asianmukainen kiihtyvän havaitsijan näkökulmasta, kun metriikka on kirjoitettu omassa itseisajassaan \(\tau\). Tämä normalisoitu muoto ei tarvitse erillistä kiihtyvyysparametria \(\alpha\), sillä etäisyys horisonttiin \(\xi\) sisältää suoraan kaiken tarvittavan tiedon kiihtyvyydestä.

Syttyvän moniston näkökulmasta tämä itseisajassa kirjoitettu esitys on yhtä pätevä kuin koordinaattiajan \(t\) käyttö, mutta mahdollistaa havaitsijakohtaisen ajankulun suoremman tarkastelun ilman tarvetta ylimääräiselle aikakoordinaatille. Koordinaattiajan \(t\) käyttöönotto voi toki helpottaa siirtymistä inertiaalihavaitsijan koordinaatteihin, johon ilmeisesti valmistaudut, mutta kiihtyvän havaitsijan paikallista aika- ja etäisyyskokemusta se ei sitten enää suoraan kuvaakaan.

[QS]

Tähän totean vain, että se Rindler-metriikka on tosiaan laakea. Hiukkaskiihdyttimessä nimensä mukaiset hiukkaset eivät kaareuta aika-avaruutta mihinkään. Kyseessä on jopa erittäin laakea avaruus, ja riippumatta mistä sitä tarkastelee.

Ihan puhtaasti suurella ratanopeudella saadaan aikaan monikymmen-kertainen ikääntyminen. Vastaava kaarevan avaruuden aikadilataatiokerroin vaatisi erittäin suuren neutronitähden (jos sekään riittää). Tuon suuruusluokan energia-impulssitensoreita ei ole kiihdyttimien läheisyydessä raportoitu.

Vaikka Rindler-metriikka kuvaa tasaisesti kiihtyvää havaitsijaa laakeassa Minkowskin avaruudessa, se ei itsessään ole laakea.

Mutta kun se on laakea. Itsekin olen kaarevuustensorit joskus laskenut, ja kaarevuus on tasan nolla. Musta ei puhumalla valkoiseksi muutu.

Rindler-metriikka:
\(ds^2 = -\xi^2 d\tau^2 + d\xi^2 + dy^2 + dz^2\)

Tarkistetaan lasku nyt yksi vaihe kerrallaan. Kirjoittamasi ei ole Rindler-metriikka. Siitä puuttuu havaitsijan ominaiskiihtyvyys, ja lisäksi ominaisaika \(\tau\) on asetettu koordinaattiajaksi.

Rindler-metriikka olisi \(ds^2 = -\alpha^2\xi^2 dt^2 + d\xi^2 + dy^2 + dz^2\), missä \(\alpha\) on ominaiskiihtyvyys, ja koordinaatit \((t,\xi,y,z)\).

Esittämäni muoto Rindler-metriikalle on täysin asianmukainen kiihtyvän havaitsijan näkökulmasta, kun metriikka on kirjoitettu omassa itseisajassaan \(\tau\). Tämä normalisoitu muoto ei tarvitse erillistä kiihtyvyysparametria \(\alpha\), sillä etäisyys horisonttiin \(\xi\) sisältää suoraan kaiken tarvittavan tiedon kiihtyvyydestä.

Tässä on mukana jotain eusamystiikkaa, joten metriikkaa ei tule kutsua Rindler-metriikaksi. Rindler-metriikan itseisajalle \(\tau\) ja koordinaattiajalle \(t\) pätee \(d\tau = ax\ dt\).

Vain erikoistapauksesta \(x=1/a\), missä \(x\) on vakio ja \(dx=dy=dz=0\), seuraa \(d\tau = dt\).

[Eusa]

Vaikka Rindler-metriikka kuvaa tasaisesti kiihtyvää havaitsijaa laakeassa Minkowskin avaruudessa, se ei itsessään ole laakea.

Mutta kun se on laakea. Itsekin olen kaarevuustensorit joskus laskenut, ja kaarevuus on tasan nolla. Musta ei puhumalla valkoiseksi muutu.

Rindler-metriikka:
\(ds^2 = -\xi^2 d\tau^2 + d\xi^2 + dy^2 + dz^2\)

Tarkistetaan lasku nyt yksi vaihe kerrallaan. Kirjoittamasi ei ole Rindler-metriikka. Siitä puuttuu havaitsijan ominaiskiihtyvyys, ja lisäksi ominaisaika \(\tau\) on asetettu koordinaattiajaksi.

Rindler-metriikka olisi \(ds^2 = -\alpha^2\xi^2 dt^2 + d\xi^2 + dy^2 + dz^2\), missä \(\alpha\) on ominaiskiihtyvyys, ja koordinaatit \((t,\xi,y,z)\).

Esittämäni muoto Rindler-metriikalle on täysin asianmukainen kiihtyvän havaitsijan näkökulmasta, kun metriikka on kirjoitettu omassa itseisajassaan \(\tau\). Tämä normalisoitu muoto ei tarvitse erillistä kiihtyvyysparametria \(\alpha\), sillä etäisyys horisonttiin \(\xi\) sisältää suoraan kaiken tarvittavan tiedon kiihtyvyydestä.

metriikkaa ei tule kutsua Rindler-metriikaksi. Rindler-metriikan itseisajalle \(\tau\) ja koordinaattiajalle \(t\) pätee \(d\tau = ax\ dt\).

Vain erikoistapauksesta \(x=1/a\), missä \(x\) on vakio ja \(dx=dy=dz=0\), seuraa \(d\tau = dt\).

Et keskity asiaan vaan aikamuunnoksiin.

Kurvilineaarinen ratakäyrä Minkowskin laakeassa koordinaatistossa on eräs kuvaustapa sisällyttää kiihtyvyyden tuottama ajallinen kaarevuus metriikkaan. Se ikään kuin hukutetaan ratakäyrään, joka on metriikkaa siten, että kaarevuus on nyt osa kuvausgeometriaa. Se ei kuitenkaan muuta sitä tosiasiaa, että molemmat koordinaattiesitykset (Minkowski-havaitsija ja Rindler-havaitsija) kuvaavat samaa kiihtyää ilmiötä eri näkökulmista.

Näkökulmaeromme kiteytyy siihen, että olen oppinut gravitaation olevan näennäistä. Siten ainetiheyden ulospän kiihdyttämä tyhjö ja fysikaalinen vuorovaikutuskiihtyvyys virittävät molemmat yhtä todellisen aika-avaruuden ja kummassakin vastaan putoava koordinaatisto tarkoittaa gravitaatiota.

Mikään liikerata ei ole todellisuudesta irrallinen vain laskuharjoitus vaan antaa kontribuutionsa metriikalle. Rindler-metriikassa olennaista on kiihtyvä kohde, ei kuvaustapa. Minkowski-havaitsijakin päättelee kiihtyvän kohteen ikääntymisen aikakaarevuutena, kun tarkkailee signaalivaihdon taajuussiirtymää. Mikäli valitaan koordinaatisto, jossa kiihtyvyys ei ole kohti, mitataan myös avaruudellisen kaarevuuden osuus.

Yleinen suhteellisuusteoria sallii kaarevuuden ilmenemisen myös lineaarisesti kiihtyvissä koordinaatistoissa, kuten Rindler-koordinaatistossa. Tämä johtuu siitä, että kaarevuus ei ole yksinomaan pallomaisten kenttien ominaisuus.

[QS]

Riemann-tensorin komponentit:
\(R^\alpha_{\beta\gamma\delta} = \partial_\gamma \Gamma^\alpha_{\beta\delta} - \partial_\delta \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} + \Gamma^\alpha_{\mu\gamma} \Gamma^\mu_{\beta\delta} - \Gamma^\alpha_{\mu\delta} \Gamma^\mu_{\beta\gamma}\)

Christoffelin symbolit:
\(\Gamma^0_{01} = \Gamma^0_{10} = \frac{1}{\xi}
\Gamma^1_{00} = \xi\)

Muut komponentit ovat nollia.

Nollasta poikkeavat Riemann-tensorin komponentit:
\(R^0_{101} = -R^0_{110} = R^1_{010} = -R^1_{001} = \frac{1}{\xi^2}\)

Tässä on jokin virhe. Rindlerin metriikka on \(d\tau^2=-ds^2=-x^2dt^2+dx^2+dy^2+dx^2\), missä valittu \(\alpha=1\).

Tässä tapauksessa \(g_{\mu\nu}=\text{diag}(-x^2,1,1,1)\) ja \(g^{\mu\nu}=\text{diag}(-\frac{1}{x^2},1,1,1)\). Konnektiokertoimet on mielestäni oikein, mutta Riemannin tensorissa on jotain pielessä.

Käyttämällä annettua määritelmää

\(R^\alpha_{\beta\gamma\delta} = \partial_\gamma \Gamma^\alpha_{\beta\delta} - \partial_\delta \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} + \Gamma^\alpha_{\mu\gamma} \Gamma^\mu_{\beta\delta} - \Gamma^\alpha_{\mu\delta} \Gamma^\mu_{\beta\gamma}\)

joka on ihan oikein, saadaan esimerkiksi komponentille \({R^0}_{101}\) kaksi ensimmäistä termiä (1)

\(\begin{align*}
\partial_0 \Gamma^0_{11} - \partial_1 \Gamma^0_{10} &= 0 - (-\frac{1}{x^2})\\
& = \frac{1}{x^2}
\end{align*}\)

Kaksi jälkimmäistä tulotermiä ovat nolla, kun \(\mu=\{2,3\}\). Muut mahdolliset, eli siis \(\mu=\{0,1\}\), voi kirjoittaa ihan summana (2)

\(\begin{align*}
\sum_{\mu=0}^{1}(\Gamma^\alpha_{\mu\gamma}\Gamma^\mu_{\beta\delta}-\Gamma^\alpha_{\mu\delta}\Gamma^\mu_{\beta\gamma}) &= \Gamma^0_{00}\Gamma^0_{11}-\Gamma^0_{01}\Gamma^0_{10}+\Gamma^0_{10}\Gamma^1_{11}-\Gamma^0_{11}\Gamma^1_{10}\\
&=0-\frac{1}{x^2}+0-0\\
&=-\frac{1}{x^2}
\end{align*}\)

Näiden (1) ja (2) summa on \({R^0}_{101}=0\). Tässä oli esimerkinomaisesti vain yksi komponentti, mutta koko Riemannin tensori on nolla Rindlerin metriikan tapauksessa, kuten aiemmin totesin.

[Eusa]

Riemann-tensorin komponentit:
\(R^\alpha_{\beta\gamma\delta} = \partial_\gamma \Gamma^\alpha_{\beta\delta} - \partial_\delta \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} + \Gamma^\alpha_{\mu\gamma} \Gamma^\mu_{\beta\delta} - \Gamma^\alpha_{\mu\delta} \Gamma^\mu_{\beta\gamma}\)

Christoffelin symbolit:
\(\Gamma^0_{01} = \Gamma^0_{10} = \frac{1}{\xi}
\Gamma^1_{00} = \xi\)

Muut komponentit ovat nollia.

Nollasta poikkeavat Riemann-tensorin komponentit:
\(R^0_{101} = -R^0_{110} = R^1_{010} = -R^1_{001} = \frac{1}{\xi^2}\)

Tässä on jokin virhe. Rindlerin metriikka on \(d\tau^2=-ds^2=-x^2dt^2+dx^2+dy^2+dx^2\), missä valittu \(\alpha=1\).

Tässä tapauksessa \(g_{\mu\nu}=\text{diag}(-x^2,1,1,1)\) ja \(g^{\mu\nu}=\text{diag}(-\frac{1}{x^2},1,1,1)\). Konnektiokertoimet on mielestäni oikein, mutta Riemannin tensorissa on jotain pielessä.

Käyttämällä annettua määritelmää

\(R^\alpha_{\beta\gamma\delta} = \partial_\gamma \Gamma^\alpha_{\beta\delta} - \partial_\delta \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} + \Gamma^\alpha_{\mu\gamma} \Gamma^\mu_{\beta\delta} - \Gamma^\alpha_{\mu\delta} \Gamma^\mu_{\beta\gamma}\)

joka on ihan oikein, saadaan esimerkiksi komponentille \({R^0}_{101}\) kaksi ensimmäistä termiä (1)

\(\begin{align*}
\partial_0 \Gamma^0_{11} - \partial_1 \Gamma^0_{10} &= 0 - (-\frac{1}{x^2})\\
& = \frac{1}{x^2}
\end{align*}\)

Kaksi jälkimmäistä tulotermiä ovat nolla, kun \(\mu=\{2,3\}\). Muut mahdolliset, eli siis \(\mu=\{0,1\}\), voi kirjoittaa ihan summana (2)

\(\begin{align*}
\sum_{\mu=0}^{1}(\Gamma^\alpha_{\mu\gamma}\Gamma^\mu_{\beta\delta}-\Gamma^\alpha_{\mu\delta}\Gamma^\mu_{\beta\gamma}) &= \Gamma^0_{00}\Gamma^0_{11}-\Gamma^0_{01}\Gamma^0_{10}+\Gamma^0_{10}\Gamma^1_{11}-\Gamma^0_{11}\Gamma^1_{10}\\
&=0-\frac{1}{x^2}+0-0\\
&=-\frac{1}{x^2}
\end{align*}\)

Näiden (1) ja (2) summa on \({R^0}_{101}=0\). Tässä oli esimerkinomaisesti vain yksi komponentti, mutta koko Riemannin tensori on nolla Rindlerin metriikan tapauksessa, kuten aiemmin totesin.

Kiihtyjän näkökulmasta aika-avaruus on kaareva, ja kiihtyvyys esitettynä Laakeassa Minkowskissa on vain koordinaattimuunnos, joka piilottaa tämän kaarevuuden.

Ohitat keskeisen pointin, kun keskityt liikaa Riemannin kaarevuustensoriin ja sen olemattomaan arvoon Minkowskilaisessa Rindler-metriikan koordinaatistosovituksessa. Unohdat sen, kuinka Rindler-metriikka kuvaa kiihtyvän havaitsijan näkökulmasta koettua ajallista kaarevuutta fysikaalisen muutoksen kentässä.

Kun tarkastelemme kiihtyvyyttä energian kulutuksen ja fysikaalisten vaikutusten kautta, voimme nähdä sen aidosti aika-avaruutta muokkaavana tekijänä. Kiihtyvän havaitsijan näkökulmasta aika-avaruuteen muodostuu kaarevuutta, joka ei ole koordinaattien asettama illuusio, vaan konkreettinen, fysikaalinen ilmiö. Tilannetta tulee analysoida tarkastelemalla geodeettista deviatiivisuutta ja kytkemällä sitä fysikaalisiin ilmiöihin kuten energian kulutukseen. Sen sijaan minkowskilaiseen laakeuteen piirretyt kiihtyvien hiukkasten ratakäyrät ovat se illusorinen esitys.

[Eusa]

QS on ihan oikeassa - viitekehyksessään.

Mistä lopulta oikeastaan on kysymys?

Einstein varoitti pitämästä kaarevaa aika-avaruutta fysikaalisena rakenteena. Hän ajatteli, että samoin kuin kiihtyvä kappale sytyttää gravitaatiokentän niin tekevät myös tähdet ja planeetat pintakiihtyvyyksin. Gravitaatio olisi aina näennäinen suhteellinen ilmiö. Pallomaisessa pintakiihtyvyydessä tensorit vain summana antavat useaan suuntaan kaareutuvat vaikutukset geometriaksi.

Myöhemmin kuitenkin on muodostunut yleisen suhteellisuusteorian kuva, jossa gravitaatio on fundamentaali vuorovaikutus ja sen kenttäkin napakenttänä, josta osoituksena on pidetty mm. vuorovesijännityksiä.

Ekvivalenssiperiaatteesta on useita vaikuttavuudeltaan eriasteisia versioita. Katson, että se johtuu edellä antamastani kuvauksesta luettavissa olevasta sekoilusta ja keskeneräisyydestä.

Kun ekvivalenssiperiaate totetuu täydessä vahvuudessaan, fysikaalisuus ilmenee paikallisuutena ja tyhjö ylläpitää ja kehittää muistirakenteena kaarevaa aika-avaruutta, saadaan koko kaikkeuden täyttävä energiataseen säilyttävä kenttä ja näköala vuorovaikutusten yhtenäisteorialle.

Tuota taustaa vasten olen opiskellut kuinka vuorovaikutukset ja ekvivalenssiperiaate luonnossa ilmenevät ja tulee ymmärrettäväksi miksi niin sitkeästi vaadin fysikaalisuuden huomioimista.

Rindlerin metriikan viitekehys on laakeassa minkowskilaisessa kehyksessä annettava koordinaatistosovitus. Kun sieltä hakee fundamenttia kaareuttavaa gravitaatiokenttää, sitä ei luonnollisestikaan löydy. Einstein olisi mielestäni löytänyt sen lineaarikiihtyvälle havaitsijalle syttyvänä geometriana, mutta "taantunut" paradigma edellyttää gravitaatiokaarevuudelle fundamentaalista kaikille havaitsijoille invarianttia kaarevuutta, jota Rindler-koordinaatistoon piirrettyjen kiihtyvyysratojen käyrillä ei muodostu.

On huomioitava, ettei fysiikka sentään niin rikki ole, etteikö Rindler-metriikan aika-avaruushaasteeseen löydy ratkaisu laajennuksena - tai supistuksena, miten sen nyt ottaa. Kuvasta täytyy vain poistaa epäolennainen ja tehdä vuorovaikutustapahtumasta olennainen. Nimittäin, kun kuvaan lisätään jatkuvan kiihtyvyyden takana vääjäämättä oleva vuorovaikutusosapuoli, paljastuu Rindler-koordinaatiston illusorisuus. On mallinnettava aika-avaruus, joka vuorovaikutuksen energiamuutoksena on kaareutunut - kiihtyvyys näkyy signaalien kaarevina nollageodeeseina.

Kuitenkin, lineaarivuorovaikutus mahdollistaa tasan sen linjalle sijoittuvan havaitsijan, joka pelkästään suoria paikan 2. aikaderivaatin mukaisia liikkeitä havaitsemalla ei päättele sijaitsevansa kaarevassa monistossa. Vasta kun hsvaitsija vaihtaa signaaleja kiihtyvän kohteen kanssa, tulee ymmärrettäväksi, että kohde on osa samaa järjestelmää ja sen itseisaika ei kehity tasaisesti kuten inertiaalihavaitsijalla. Myös inertiaalihavaitsijan on mallinnettava "tasku", jossa ajallinen komponentti on kaareutunut. Nimittäin, ja tässä tullaan keskelle ketjumme aihetta, yleisen suhteellisuuden toteutuminen näkyy kellojen kohtaamisessa ikääntymiserona, joka ei ollut ennustettavissa pelkkää liikettä seuraamalla; tulee huomioida kumpi kiihtyy. Rindler-koordinaatiston origoonhan kelpaa kumpi vain; itseiskiihtyvä havaitsija tai inertiaalihavaitsija havainnoimaan kiihtyvää kohdetta.

Einsteinin olisi tullut jatkaa valitsemallaan tiellä ydinperiaatteilla ja olisi voinut löytää ainekentän jatkumona tyhjöenergian, jossa näkyviä hiukkasia vielä suurempi ainemäärä luuraa pimeänä aineena. Olen varsin vakuuttunut löydöstäni, mutta matematiikka on vielä sangen karkealla asteella, vaikka antaakin galakseille ihan oikean suuruusluokan ennusteita.

Vuorovesijännitykset ovat todellisia, mutta niiden nettosuuntaus kentässä ulospäin käy ymmärrettäväksi tyhjön itseiskiihtyvyyksin. Samoin ulospäin suuntautuvat kiihtyvyydet antavat oikean etumerkin paikallisten ikääntymistahtien välisille taajuussiirtymille: voimakkain kiihtyvyys g kohti R-kaukaista nollakiihtyvyyspositiota antaa hitaimman ikääntymisen kertoimen Xg/c² mukaan. Jos tulkittaisiin gravitaatiokiihtyvyys muuksi kuin näennäiseksi, olisi ikääntyminen muuttumassa täysin väärään suuntaan havaintoihin nähden (-g).

Siirryttäessä läpikattavaan ainekenttään päästään eroon:
- napamääritteisestä geometriasta, jossa aine erikseen kaukokorrelaationa antaa geodeesit
- kentän energian epälineaarisuudesta
- ristiriidasta kvanttimekaniikan kanssa

ja saadaan:
- vahva ekvivalenssiperiaate
- energian säilyminen kaikkialla
- yksi kenttämekanismi kaikkien vuorovaikutusten yhtenäistämiselle

Epäilen, etten niin valtavan väärässä ole minäkään, vaikka aina tietysti väärässä olemisen määrä tavallaan kasvaa sitä mukaa mitä enemmän oppii siitä kuinka vähän vielä ymmärretään.