Matematiikka on huijausta. Lukuja ei ole.

[Keckman]

On uskottavaa olettaa, että maailmankaikkeuksia on valtava määrä. Ei ole mitään erityistä syytä, miksi juuri tämän universumin luonnonvakiot — protonin massa, valonnopeus, hiukkasten väliset suhteet — olisivat saaneet juuri nämä arvot. Jos tämä olisi ainoa olemassa oleva universumi, sen sattumanvarainen sopivuus elämälle olisi niin epätodennäköinen, että koko olemassaolo muistuttaisi enemmän metafyysistä ihmettä kuin luonnollista ilmiötä.

Paljon luontevampi ajatus on, että suurin osa mahdollisista universumeista ei koskaan muodosta mitään havaittavaa. Niissä ei ole pysyviä rakenteita, ei kemiaa, ei toistuvia lakeja — ei mitään, mikä mahdollistaisi tietoisuuden. Sellaiset maailmankaikkeudet ovat kosmista kohinaa, joihin ei voi koskaan syntyä olentoa kysymään niistä.

Me puolestamme elämme universumissa, jossa matematiikka toimii hämmästyttävän hyvin. Tämä ei ehkä kerro matematiikan syvällisestä metafyysisestä asemasta, vaan siitä, että vain matematiikan kuvaama järjestys sallii havaitsijan olemassaolon. Epäjärjestyneissä universumeissa ei ole havaintoja. Järjestyneissä on — ja siksi me näemme sellaisen. Matematiikan tehokkuus on havaitsijavalikoitumista: näemme vain sellaiset maailmat, joissa voidaan nähdä.

Kvanttifysiikka tekee tästä näkökulmasta vielä terävämmän. Ennen havaintoa ei ole yksittäistä todellisuutta, vaan superpositio mahdollisuuksia. Havainto aktualisoi yhden niistä, mutta havaitsija voi nousta vain sellaisissa tiloissa, joissa toistuvuus ja lainalaisuus ylipäätään mahdollistavat havaitsemisen. Tämä tekee järjestyksestä ja havainnosta saman ilmiön: maailman ei tarvitse olla matemaattinen sinänsä, riittää että vain matemaattisesti jäsentyneet todellisuudet tulevat koskaan kenenkään tietoisuuteen.

Näin ajatellen kysymys ei ole siitä, miksi universumimme on niin järkeenkäyvä ja matemaattinen, vaan siitä, miten voisimme koskaan havainnoida universumia, joka ei olisi. Vastaus on yksinkertainen: emme voisi. Siksi elämme juuri tässä maailmassa, emmekä niissä lukemattomissa muissa, joissa ei ole ketään elämään, näkemään tai kysymään.

[Naturalisti]

1. mielen sisäinen kuva todellisuudesta, ja
2. todellisuus sinänsä, joka on olemassa riippumatta kielen- ja matemaattisista järjestelmistämme.

Tämä rajanveto on tärkeä, koska ilman sitä päädytään helposti naiiviin realismiin – ajatukseen, että ihmisen käsitteet, kielet tai matemaattiset rakenteet jotenkin olisivat itse todellisuuden ominaisuuksia.

En väittänyt, että matemaattiset rakenteet ovat luonnossa. Sanoin, että matematiikan rakenteiden ja sääntöjen perusteet on poimittu luonnosta. Matematiikka on ihmisen muodostama looginen järjestelmä, jonka perusteet on asitihavainnoin löydetty luonnosta (esim: luonnolliset luvut, joukot, ympyrän kehän ja säteen suhde, pythagoraan lause....). Jos ei olisi löydetty luonnosta, niin niitä ei voisi soveltaa luonnon tarkasteluun.

'Todellisuus'-käsitteeseen en voi ottaa kantaa, sillä se jää määrittelemättömäksi. Ihminen voi havaita vain asiat, joita ihminen havaitsee. Niille asioille, joita ei havaitse, ei voida antaa mitään kvalitatiivista tai kvantitatiivista kuvailua. Jotta voidaan sanoa "todellisuus on olemassa", niin todellisuudelle on oltava määritelmä. Se puuttuu.

4. Miksi matematiikka toimii?

Ei siksi, että universumi olisi pohjimmiltaan matemaattinen,
vaan siksi, että ihmismieli muovaa matemaattisia abstraktioita juuri niistä spatio-temporaalisista invariansseista, jotka toistuvat havainnoissamme.

Varmasti näin, matematiikka ei asu luonnossa, kuten sanoin. Mutta jotta päästään ihmiskeskeisyydestä pois, niin myös eläimet muodostavat sääntöjä havaitsemistaan spatio-temporaalisista invariansseista ja hyödyntävät niitä elinkaarensa läpi. Vai voidaanko väittää etteikö haukanpoikanen harjoittelisi saalistusta, ja harjoittelun aikana se oppii monimutkaisiakin sääntöjä liikeradoista ja ympäristön vaikutuksesta liikeratoihin. Haukat eivät tietysti laske matematiikkaa sen enempää kuin huippu-jalkapalloilijankaan laskee matematiikkaa, mutta molemmat oppivat luonnon sääntöjä, joita soveltavat.

Luonnossa on selvästi säännönmukaisuuksia (spatio-temporaalisista invariansseja), joita lukemattomat eliölajit osaavat tulkita ja hyödyntää. Ihminen (ja ehkä muut kehittyneet sivilisaatiot) vievät säännöt niin pitkälle, että muodostuu abstrakti ja aksiomaattinen järjestelmä, jota kutsutaan matematiikaksi, ja tätä (luonnosta päräisin olevaa) järjestelmää käytetään luonnon tapahtumien ymmärtämiseen ja ennustamiseen.

Yksi keskustelun olennaisia solmukohtia liittyy siihen, missä mielessä matematiikka tai ”säännöt” ovat olemassa. Pidän tärkeänä erottaa materiaalisen todellisuuden ja meidän siitä tekemämme mentaaliset representaatiot.

Materiaalisen mielen toiminnan ulkopuolisessa todellisuudessa matematiikkaa ei ole olemassa. Matemaattiset symbolit, säännöt ja rakenteet ovat olemassa vain aivojen aineellisina prosesseina, hajautuneina yksilöiden mieliin. Sama pätee kaikkiin mentaalisiin sisältöihin: ne ovat todellisia siinä mielessä, että ne tapahtuvat aivoissa — ei siinä mielessä, että ne olisivat maailmassa sellaisenaan.

Mentaaliset sisällöt voi tämän vuoksi jakaa kahteen tyyppiin:

1) Reaalitodellisuuden dynaamiset representaatiot
Nämä ovat kokemukseen sidottuja malleja, joilla on epäsuorasti havaittavat vastineet todellisuudessa. Ne päivittyvät, kun kokemus korjaa niitä. Luonnontieteet ja niiden matemaattiset kuvaukset kuuluvat tähän: ne ovat välineitä havaintojen järjestämiseksi, eivät todellisuuden ”sääntökirjoja”.

2) Fiktiot, joilla ei ole vastinetta todellisuudessa
Nämä ovat mentaalisesti todellisia, koska ne toteutuvat aivoissa, mutta niillä ei ole materiaalista vastinetta mielen ulkopuolella. Tällaisia ovat abstrakti matematiikka, sosiaaliset rakenteet (valtio, raha, omistusoikeus, identiteetit) ja uskonnot. Ne ovat käyttökelpoisia ja kulttuurisesti vaikuttavia, mutta ne ovat fiktiivisiä siinä mielessä, ettei maailmassa ole ”itsessään” mitään niiden kaltaista.

Tämän näkemyksen pohjalta en yhdy väitteeseen, että ”matematiikka on enemmän kuin ihmisen keinotekoinen järjestelmä”. Matematiikka on hyödyllinen fiktiivinen kieli: se ei paljasta todellisuuden rakennetta, vaan auttaa meitä organisoimaan empiirisesti havaittuja säännönmukaisuuksia. Universumi ei noudata matematiikan sääntöjä — me vain kuvaamme havaittua käyttäytymistä tämän meille toimivaksi osoittautuneen kielen avulla.

Jos matematiikan ja luonnon välillä näyttää olevan yhteys, se johtuu siitä, että molemmat rakennetaan aivojen sisällä: luonnon säännönmukaisuuksien mallit havaintojen pohjalta ja matematiikan rakenteet sisäisiksi apuvälineiksi näiden mallien ilmaisemiseen. Ei siksi, että matematiikka olisi universumin ”oma kieli”.

Todellisuudessa ei ole annettuja ”sääntöjä” odottamassa löytämistä. On vain materiaalisia prosesseja, ja me rakennamme niistä vuorovaikutuksessa havaintojen kanssa parhaat mahdolliset representaatiot — sekä joukon fiktiivisiä järjestelmiä, jotka auttavat meitä toimimaan yhdessä.

[Naturalisti]

Matemaattinen rakenne tarkoittaa matematiikan kielioppia.

Jos luonto rakentuu, jossain kohti muulle kuin logiikalle, esim. aidolle taikuudelle, silloin sitä ei voi kuvata täydellisesti matematiikalla, koska matematiikka on logiikan kieli, ei taikuuden.

Lukuteoria ja topologia ovat kuvauksia erityisen fundamentaalisista loogisista rakenteista, joista nousee esim. geometria ja algebra emergensseinä.

Tämä on loputon keskustelun aihe, mutta teoreettiselle fysiikallekin varsin tärkeä.

Pidän hyvänä lähtökohtana tehdä sama erottelu, jonka toin esiin vastauksessani QS:lle:
materiaalinen todellisuus ja mielen sisäiset rakenteet ovat kaksi eri asiaa, joita ei kannata sotkea toisiinsa.

Kun sanot, että ”matemaattinen rakenne tarkoittaa matematiikan kielioppia”, olen tästä täysin samaa mieltä — mutta tämä kielioppi on ihmismielen tuote, ei luonnon ominaisuus. Matematiikka on looginen formaalijärjestelmä, joka toimii, koska ihmisaivot rakentavat matemaattiset abstraktiot samoista havaitsemistamme säännönmukaisuuksista (spatio-temporaaliset invarianssit), kuten kirjoitin QS:lle.

Luonnossa ei ole itsessään ”matemaattisia rakenteita”, ”topologiaa” tai ”lukuteoriaa”. Ne ovat mielen sisäisiä fiktiivisiä malleja, joilla jäsennämme havaittuja prosesseja. Hyödyllisiä — mutta silti fiktiivisiä siinä mielessä, että maailmassa ei ole numeroita, joukkoja tai topologioita odottamassa löytämistä.

Tässä mielessä väitteesi:
”Jos luonto rakentuu muulle kuin logiikalle, sitä ei voi kuvata täydellisesti matematiikalla” osuu oikeaan, mutta eri syystä kuin ehkä tarkoitat.


Matematiikka ei kuvaa luontoa ”täydellisesti” siksi, että luonto ei ole logiikkaa eikä matematiikkaa, vaan jatkuvaa materiaalis-prosessuaalista tapahtumista, jota me yritämme parhaamme mukaan mallintaa rajallisella kielellä ja rajallisilla aivoilla.

Topologia ja lukuteoria ovat toki elegantteja ja syvällisiä järjestelmiä — mutta niiden ”fundamentaalisuus” ei kerro mitään todellisuudesta itsestään. Se kertoo vain, kuinka pitkälle ihmismieli pystyy abstrahoimaan omia havaintojaan ja rakentamaan niistä sisäisiä järjestelmiä.

Moni teoreettisen fysiikan iso haaste (kuten mainitsit) kumpuaakin juuri siitä, että yritämme sovittaa matemaattisen fiktiokielen universumin materiaalis-prosessuaaliseen toimintaan. Ei siksi, että universumi olisi matemaattinen, vaan siksi, että me olemme.

[Naturalisti]

Joo, matematiikka syntyy luonnon lainalaisuuksien pohjalta, mutta nyt tiedemiehet ja naiset kuvittelevat että jos joku on matemaattisesti mahdollista, luonto tottelee tuota ajatusta. Asia ei ole näin, luonnon lainalaisuudet ei taivu läheskään siihen mihin matematiikka taipuu.

Olen samaa mieltä siitä, että matematiikan maailma ja luonnon maailma ovat täysin eri asioita. Tätä korostin myös kommentissani QS:lle: luonto on materiaalinen prosessi, matematiikka taas ihmismielen luoma abstrakti kieli havaittujen säännönmukaisuuksien kuvaamiseen.

Siksi väite “jos jokin on matemaattisesti mahdollista, luonto toteuttaa sen” menee harhaan. Matemaattisesti mahdollista on valtavasti sellaista, mitä luonto ei koskaan voi toteuttaa — koska luonto ei toimi logiikan ehdoilla, vaan fysikaalisten prosessien, energian ja vuorovaikutusten ehdoilla.

Matematiikan sisäinen ”mahdollisuus” tarkoittaa vain: tässä fiktiivisessä järjestelmässä ei synny loogista ristiriitaa.
Se ei kerro mitään siitä, onko kyseinen rakenne fysikaalisesti toteutettavissa.

Tilanne onkin päinvastoin kuin usein kuvitellaan:

Luonto ei noudata matematiikkaa — vaan me sovitamme matematiikan niihin säännönmukaisuuksiin, joita luonnossa havaitsemme.

Matematiikka toimii, koska sitä muokataan jatkuvasti vastaamaan havaittua todellisuutta. Se ei ole luonnon oma kieli, vaan meidän rakentamamme malli luonnosta.

[Naturalisti]

On uskottavaa olettaa, että maailmankaikkeuksia on valtava määrä. Ei ole mitään erityistä syytä, miksi juuri tämän universumin luonnonvakiot — protonin massa, valonnopeus, hiukkasten väliset suhteet — olisivat saaneet juuri nämä arvot. Jos tämä olisi ainoa olemassa oleva universumi, sen sattumanvarainen sopivuus elämälle olisi niin epätodennäköinen, että koko olemassaolo muistuttaisi enemmän metafyysistä ihmettä kuin luonnollista ilmiötä.

Paljon luontevampi ajatus on, että suurin osa mahdollisista universumeista ei koskaan muodosta mitään havaittavaa. Niissä ei ole pysyviä rakenteita, ei kemiaa, ei toistuvia lakeja — ei mitään, mikä mahdollistaisi tietoisuuden. Sellaiset maailmankaikkeudet ovat kosmista kohinaa, joihin ei voi koskaan syntyä olentoa kysymään niistä.

Me puolestamme elämme universumissa, jossa matematiikka toimii hämmästyttävän hyvin. Tämä ei ehkä kerro matematiikan syvällisestä metafyysisestä asemasta, vaan siitä, että vain matematiikan kuvaama järjestys sallii havaitsijan olemassaolon. Epäjärjestyneissä universumeissa ei ole havaintoja. Järjestyneissä on — ja siksi me näemme sellaisen. Matematiikan tehokkuus on havaitsijavalikoitumista: näemme vain sellaiset maailmat, joissa voidaan nähdä.

Kvanttifysiikka tekee tästä näkökulmasta vielä terävämmän. Ennen havaintoa ei ole yksittäistä todellisuutta, vaan superpositio mahdollisuuksia. Havainto aktualisoi yhden niistä, mutta havaitsija voi nousta vain sellaisissa tiloissa, joissa toistuvuus ja lainalaisuus ylipäätään mahdollistavat havaitsemisen. Tämä tekee järjestyksestä ja havainnosta saman ilmiön: maailman ei tarvitse olla matemaattinen sinänsä, riittää että vain matemaattisesti jäsentyneet todellisuudet tulevat koskaan kenenkään tietoisuuteen.

Näin ajatellen kysymys ei ole siitä, miksi universumimme on niin järkeenkäyvä ja matemaattinen, vaan siitä, miten voisimme koskaan havainnoida universumia, joka ei olisi. Vastaus on yksinkertainen: emme voisi. Siksi elämme juuri tässä maailmassa, emmekä niissä lukemattomissa muissa, joissa ei ole ketään elämään, näkemään tai kysymään.

Ajattelusi on johdonmukaista siinä mielessä, että se pyrkii selittämään luonnonvakiot havaitsijavalikoitumisella. Ongelmana on kuitenkin se, että koko kehikko — multiversumit, ”havaitsijoita sallivat” luonnonvakiot ja kvanttitodellisuuden kytkeminen havaitsijan olemassaoloon — rakentuu metafyysisiin oletuksiin, joille ei ole empiiristä tukea.

Se ei siis ole lainvastainen ajatusrakennelma, mutta se on silti puhtaasti mielen sisäinen fiktiomalli ilman havaittavaa ulkoista vastinetta. Tästä syystä se ei tarjoa selitystä todellisuudesta vaan vaihtoehtoisen kielipelin siitä.

Oma lähtökohtani — materialistinen ontologinen realismi ja tietoteoreettinen epäsuora realismi — on arkisempi mutta tieteellisesti tukevampi:

1. On yksi materiaalinen todellisuus, joka toimii omien prosessiensa varassa riippumatta siitä, mitä teoreettisia abstraktioita ihminen rakentaa.

2. Matematiikka ei ole tämän todellisuuden ominaisuus, vaan ihmismielen kehittämä fiktiivinen representaatiokieli havainnoissa toistuvien säännönmukaisuuksien kuvaamiseen.

3. Matematiikan ”tehokkuus” ei kerro universumin metafyysisestä luonteesta, vaan siitä, että olemme muokanneet matematiikkaa vastaamaan niitä rakenteita, joita onnistumme havaitsemaan.

4. Kaikki muu — multiversumit, havaitsemisen ehdolliset todellisuudet, havaitsijan ”tarve” maailmalle — on spekulaatiota, jota ei voida kytkeä havaintoaineistoon.


Lisäksi tuomasi ajatusketju lipsuu huomaamatta takaisin naiiviin realismiin, jossa matemaattinen malli ja todellisuus alkavat näyttäytyä samana asiana. Se on juuri se sekaannus, jota yritin aiemmin korostaa QS:lle:

todellisuuden prosessit ≠ mielen matemaattiset representaatiot

Siksi en näe tarpeellisena olettaa muita universumeita selittääkseni sen, miksi tässä universumissa on säännönmukaisuuksia. Säännönmukaisuudet selittyvät empiirisesti: ne ovat osa tämän maailman materiaalisia prosesseja, ja matematiikka on vain se tapa, jolla mieli yrittää niitä jäsentää.

Se, että olemme olemassa järjestäytyneessä universumissa, on triviaali havainto — ei todiste universumin matemaattisuudesta eikä multiversumista, vaan todiste siitä, että tietoiseen ajatteluun kykenevä organismi voi syntyä vain ympäristöön, joka sallii sen. Tätä ei tarvitse metafyysisesti ylitulkita.

[QS]

Materiaalisen mielen toiminnan ulkopuolisessa todellisuudessa matematiikkaa ei ole olemassa. Matemaattiset symbolit, säännöt ja rakenteet ovat olemassa vain aivojen aineellisina prosesseina, hajautuneina yksilöiden mieliin.

Se on (tietysti) selvää, että luonnossa ei ole matematiikan symboleita. Kukaan ei ole löytänyt luonnosta vektoria, yhteenlaskumerkkiä, kompelksilukuja tai Riemannin kaarevuustensoria.

Mutta matematiikalla lausutut säännönmukaisuudet löytyvät. Riemannin kaarevuustensori kuvaa oikein käytettynä painovoimaa. Diracin yhtälö kuvaa oikein käytettynä elektroneja ja positroneja. Noetherin teoreema kuvaa oikein käytettynä luonnon prosessien muuttumattomuutta.

Tämän näkemyksen pohjalta en yhdy väitteeseen, että ”matematiikka on enemmän kuin ihmisen keinotekoinen järjestelmä”. Matematiikka on hyödyllinen fiktiivinen kieli: se ei paljasta todellisuuden rakennetta, vaan auttaa meitä organisoimaan empiirisesti havaittuja säännönmukaisuuksia. Universumi ei noudata matematiikan sääntöjä — me vain kuvaamme havaittua käyttäytymistä tämän meille toimivaksi osoittautuneen kielen avulla.

Kyllä, auttaa organisoimaan havaittuja säännönmukaisuuksia. Ja kuten totesit, luonnossa on säännönmukaisuuksia, jotka voidaan lausua matematiikalla. Matematiikan todellinen voima piilee kuitenkin siinä, että säännönmukaisuuksia, joita ei ole vielä havaittu empiirisesti, voidaan löytää matemaattisin menetelmin, ja myöhemmin empiirisesti todeta, että luonto toimii löydetyn säännön mukaisesti. Toisin sanoen matematiikka ei ole vain havaintojen kuvaamista, vaan myös uusien säännönmukaisuuksien löytämistä.

[Keckman]

On uskottavaa olettaa, että maailmankaikkeuksia on valtava määrä. Ei ole mitään erityistä syytä, miksi juuri tämän universumin luonnonvakiot — protonin massa, valonnopeus, hiukkasten väliset suhteet — olisivat saaneet juuri nämä arvot. Jos tämä olisi ainoa olemassa oleva universumi, sen sattumanvarainen sopivuus elämälle olisi niin epätodennäköinen, että koko olemassaolo muistuttaisi enemmän metafyysistä ihmettä kuin luonnollista ilmiötä.

Paljon luontevampi ajatus on, että suurin osa mahdollisista universumeista ei koskaan muodosta mitään havaittavaa. Niissä ei ole pysyviä rakenteita, ei kemiaa, ei toistuvia lakeja — ei mitään, mikä mahdollistaisi tietoisuuden. Sellaiset maailmankaikkeudet ovat kosmista kohinaa, joihin ei voi koskaan syntyä olentoa kysymään niistä.

Me puolestamme elämme universumissa, jossa matematiikka toimii hämmästyttävän hyvin. Tämä ei ehkä kerro matematiikan syvällisestä metafyysisestä asemasta, vaan siitä, että vain matematiikan kuvaama järjestys sallii havaitsijan olemassaolon. Epäjärjestyneissä universumeissa ei ole havaintoja. Järjestyneissä on — ja siksi me näemme sellaisen. Matematiikan tehokkuus on havaitsijavalikoitumista: näemme vain sellaiset maailmat, joissa voidaan nähdä.

Kvanttifysiikka tekee tästä näkökulmasta vielä terävämmän. Ennen havaintoa ei ole yksittäistä todellisuutta, vaan superpositio mahdollisuuksia. Havainto aktualisoi yhden niistä, mutta havaitsija voi nousta vain sellaisissa tiloissa, joissa toistuvuus ja lainalaisuus ylipäätään mahdollistavat havaitsemisen. Tämä tekee järjestyksestä ja havainnosta saman ilmiön: maailman ei tarvitse olla matemaattinen sinänsä, riittää että vain matemaattisesti jäsentyneet todellisuudet tulevat koskaan kenenkään tietoisuuteen.

Näin ajatellen kysymys ei ole siitä, miksi universumimme on niin järkeenkäyvä ja matemaattinen, vaan siitä, miten voisimme koskaan havainnoida universumia, joka ei olisi. Vastaus on yksinkertainen: emme voisi. Siksi elämme juuri tässä maailmassa, emmekä niissä lukemattomissa muissa, joissa ei ole ketään elämään, näkemään tai kysymään.

Ajattelusi on johdonmukaista siinä mielessä, että se pyrkii selittämään luonnonvakiot havaitsijavalikoitumisella. Ongelmana on kuitenkin se, että koko kehikko — multiversumit, ”havaitsijoita sallivat” luonnonvakiot ja kvanttitodellisuuden kytkeminen havaitsijan olemassaoloon — rakentuu metafyysisiin oletuksiin, joille ei ole empiiristä tukea.

Se ei siis ole lainvastainen ajatusrakennelma, mutta se on silti puhtaasti mielen sisäinen fiktiomalli ilman havaittavaa ulkoista vastinetta. Tästä syystä se ei tarjoa selitystä todellisuudesta vaan vaihtoehtoisen kielipelin siitä.

Oma lähtökohtani — materialistinen ontologinen realismi ja tietoteoreettinen epäsuora realismi — on arkisempi mutta tieteellisesti tukevampi:

1. On yksi materiaalinen todellisuus, joka toimii omien prosessiensa varassa riippumatta siitä, mitä teoreettisia abstraktioita ihminen rakentaa.

2. Matematiikka ei ole tämän todellisuuden ominaisuus, vaan ihmismielen kehittämä fiktiivinen representaatiokieli havainnoissa toistuvien säännönmukaisuuksien kuvaamiseen.

3. Matematiikan ”tehokkuus” ei kerro universumin metafyysisestä luonteesta, vaan siitä, että olemme muokanneet matematiikkaa vastaamaan niitä rakenteita, joita onnistumme havaitsemaan.

4. Kaikki muu — multiversumit, havaitsemisen ehdolliset todellisuudet, havaitsijan ”tarve” maailmalle — on spekulaatiota, jota ei voida kytkeä havaintoaineistoon.


Lisäksi tuomasi ajatusketju lipsuu huomaamatta takaisin naiiviin realismiin, jossa matemaattinen malli ja todellisuus alkavat näyttäytyä samana asiana. Se on juuri se sekaannus, jota yritin aiemmin korostaa QS:lle:

todellisuuden prosessit ≠ mielen matemaattiset representaatiot

Siksi en näe tarpeellisena olettaa muita universumeita selittääkseni sen, miksi tässä universumissa on säännönmukaisuuksia. Säännönmukaisuudet selittyvät empiirisesti: ne ovat osa tämän maailman materiaalisia prosesseja, ja matematiikka on vain se tapa, jolla mieli yrittää niitä jäsentää.

Se, että olemme olemassa järjestäytyneessä universumissa, on triviaali havainto — ei todiste universumin matemaattisuudesta eikä multiversumista, vaan todiste siitä, että tietoiseen ajatteluun kykenevä organismi voi syntyä vain ympäristöön, joka sallii sen. Tätä ei tarvitse metafyysisesti ylitulkita.

IMO:
1. Meillä on havainto: "Olemme olemassa".
2. Meillä on teoriahavainto: "Maailmankaikkeudesta olisi voinut tulla minkälainen tahansa"
->
Suurin osa potentiaalisista maailmankaikkeuksista on roskaa. Jos tämä olisi ainoa maailmankaikkeus, niin sen ja meidän olemassaolo olisi suurempi ihme ja sattuma kuin ikinä pystymme kuvittelemaan.

Missä teen jonkin metafyysisen oletuksen? Mielestäni päättelen havaituista tai päätellyistå tosiasioista.

[Naturalisti]

Materiaalisen mielen toiminnan ulkopuolisessa todellisuudessa matematiikkaa ei ole olemassa. Matemaattiset symbolit, säännöt ja rakenteet ovat olemassa vain aivojen aineellisina prosesseina, hajautuneina yksilöiden mieliin.

Se on (tietysti) selvää, että luonnossa ei ole matematiikan symboleita. Kukaan ei ole löytänyt luonnosta vektoria, yhteenlaskumerkkiä, kompelksilukuja tai Riemannin kaarevuustensoria.

Mutta matematiikalla lausutut säännönmukaisuudet löytyvät. Riemannin kaarevuustensori kuvaa oikein käytettynä painovoimaa. Diracin yhtälö kuvaa oikein käytettynä elektroneja ja positroneja. Noetherin teoreema kuvaa oikein käytettynä luonnon prosessien muuttumattomuutta.

Tämän näkemyksen pohjalta en yhdy väitteeseen, että ”matematiikka on enemmän kuin ihmisen keinotekoinen järjestelmä”. Matematiikka on hyödyllinen fiktiivinen kieli: se ei paljasta todellisuuden rakennetta, vaan auttaa meitä organisoimaan empiirisesti havaittuja säännönmukaisuuksia. Universumi ei noudata matematiikan sääntöjä — me vain kuvaamme havaittua käyttäytymistä tämän meille toimivaksi osoittautuneen kielen avulla.

Kyllä, auttaa organisoimaan havaittuja säännönmukaisuuksia. Ja kuten totesit, luonnossa on säännönmukaisuuksia, jotka voidaan lausua matematiikalla. Matematiikan todellinen voima piilee kuitenkin siinä, että säännönmukaisuuksia, joita ei ole vielä havaittu empiirisesti, voidaan löytää matemaattisin menetelmin, ja myöhemmin empiirisesti todeta, että luonto toimii löydetyn säännön mukaisesti. Toisin sanoen matematiikka ei ole vain havaintojen kuvaamista, vaan myös uusien säännönmukaisuuksien löytämistä.

On selvää, että matematiikka on äärimmäisen tehokas työkalu luonnon säännönmukaisuuksien kuvaamisessa – kukaan ei kiistä sitä. Mutta tässä keskustelussa olennaista on kysyä: missä nämä "matematiikan lainalaisuudet" oikein ovat? Ovatko ne Platonin taivaassa odottamassa, että fyysikko “löytää” ne, vai ovatko ne ihmismielen rakentamia abstraktioita, jotka sopivat tiettyihin luonnon ilmiöihin juuri siksi, että ne on kehitetty imitoimaan havaittuja säännönmukaisuuksia?

Itse kallistun vahvasti jälkimmäiseen. Matematiikan rakenteet eivät ole maailmassa olemassa itsenäisesti; ne syntyvät aivojen materiaalisten prosessien tuloksina. Tässä mielessä matematiikan “löytäminen” on pikemminkin sen keksimistä, ja vasta sen jälkeen kokeellisesti arvioidaan, miten hyvin keksitty formaali järjestelmä sattuu sopimaan luonnon käyttäytymiseen.

Se, että jokin matemaattinen rakenne ennustaa myöhemmin havaittavan ilmiön (kuten historyssä on tapahtunut monta kertaa), ei vielä todista matematiikan olevan luonnon sisäinen ominaisuus. Se voi yhtä hyvin kertoa matematiikan joustavuudesta ja ihmismielen kyvystä rakentaa abstraktioita, jotka sattuvat sopimaan myös siihen osaan todellisuutta, jota emme vielä tunne. Emme voi tämän perusteella hypätä siihen päätelmään, että “luonto noudattaa matematiikkaa” – yhtä hyvin voidaan sanoa, että ihmiset kehittävät matematiikkaa, joka joskus sattuu kuvaamaan luontoa.

Lisäksi on muistettava, että yksikään matematiikan malli ei ole täydellinen kuva luonnosta. Ne ovat aina alimääräytyneitä suhteessa todellisuuden monimutkaisuuteen. Jokainen fysiikan teoria on likimääräinen – ja nimenomaan matematiikan rajallisuuden vuoksi meidän on jatkuvasti tarkennettava teorioita uusien havaintojen myötä.

Voisi lopuksi kysyä vielä yhden konkreettisen kysymyksen:
Jos matematiikka olisi luonnon oma ominaisuus, miksi jokainen yksilö oppii sen eri tavalla – tai ei opi lainkaan? Miksi matemaattiset käsitteet ovat opittava kulttuurisen välityksen kautta eivätkä avaudu ihmiselle suoraan kuten aidosti luonnolliset kyvyt?

Matematiikan tehokkuus ei siten edellytä sitä, että matematiikka olisi luonnossa “olemassa”. Riittää, että se on hyödyllinen fiktiivinen kieli, jonka me olemme rakentaneet, ja joka toimii niin pitkälle kuin empiirinen todentaminen sallii.

[QS]

On selvää, että matematiikka on äärimmäisen tehokas työkalu luonnon säännönmukaisuuksien kuvaamisessa – kukaan ei kiistä sitä. Mutta tässä keskustelussa olennaista on kysyä: missä nämä "matematiikan lainalaisuudet" oikein ovat? Ovatko ne Platonin taivaassa odottamassa, että fyysikko “löytää” ne, vai ovatko ne ihmismielen rakentamia abstraktioita, jotka sopivat tiettyihin luonnon ilmiöihin juuri siksi, että ne on kehitetty imitoimaan havaittuja säännönmukaisuuksia?

Samaa mieltä, että matematiikka (abstrakti järjestelmä kokonaisuutena) ei asu luonnossa. Mutta matematiikan perusrakenne on poimittu luonnosta, ja siihen pohjautuva pidemmälle kehitetty järjestelmä soveltuu siksi luonnon kuvaamiseen. Ihan todella abstrakteinkin matematiikan haara ei koskaan riko matematiikan kivijalassa olevia perusrakenteita. Esimerkkinä Eusan postaama video, joka liittyy kategoriateoriaan.

Matematiikan rakenteet eivät ole maailmassa olemassa itsenäisesti; ne syntyvät aivojen materiaalisten prosessien tuloksina. Tässä mielessä matematiikan “löytäminen” on pikemminkin sen keksimistä, ja vasta sen jälkeen kokeellisesti arvioidaan, miten hyvin keksitty formaali järjestelmä sattuu sopimaan luonnon käyttäytymiseen.

Toistaiseksi ihminen on löytänyt vain yhden formaalin järjestelmän, joka kuvaa luontoa hämmästyttävän hyvin. Se on matematiikka. Tosin matematiikan itsensä sisällä on varmasti rakenteita ja järjestelmiä, joita ei ole vielä löydetty. Ja ne saattavat avata uusia keinoja luonnon ymmärtämiseen.

Historiasta esimerkkejä ovat kompleksiluvut (1600-1800 luvuilla löydetty), joita ilman kvanttifysiikka ei käytännössä ole mahdollinen. Tai Riemannin geomteria (1800 luvulta), jota ilman yleinen suhteellisuusteoria olisi jäänyt muodostamatta. Tai ryhmäteoria (1800-1900 luvuilta), jota sovelletaan lukuisissa fysiikan teorioissa.

Voisi lopuksi kysyä vielä yhden konkreettisen kysymyksen:
Jos matematiikka olisi luonnon oma ominaisuus, miksi jokainen yksilö oppii sen eri tavalla – tai ei opi lainkaan? Miksi matemaattiset käsitteet ovat opittava kulttuurisen välityksen kautta eivätkä avaudu ihmiselle suoraan kuten aidosti luonnolliset kyvyt?

En ole sillä kannalla, että matematiikka on luonnon ominaisuus, vaan sillä kannalla, että luonto toimii erittäin säännönmukaisesti. Kun matematiikan perusrakenteet on poimittu luonnosta, niin väistämättä abstrakti matematiikka toimii luonnon selittämiseen, sillä sen perusrakenne on luonnosta poimittu.

Myös eläimet hallitsevat alkeellisen matematiikan, joten se ei ole vain ihmisen fiktiota: Number sense in animals

Eläimillä ei tietysti ole ihmisen numerojärjestelmää, mutta niiden aivot tuottavat samat tulokset kuin ihmisen aivot.

[Naturalisti]

On selvää, että matematiikka on äärimmäisen tehokas työkalu luonnon säännönmukaisuuksien kuvaamisessa – kukaan ei kiistä sitä. Mutta tässä keskustelussa olennaista on kysyä: missä nämä "matematiikan lainalaisuudet" oikein ovat? Ovatko ne Platonin taivaassa odottamassa, että fyysikko “löytää” ne, vai ovatko ne ihmismielen rakentamia abstraktioita, jotka sopivat tiettyihin luonnon ilmiöihin juuri siksi, että ne on kehitetty imitoimaan havaittuja säännönmukaisuuksia?

Samaa mieltä, että matematiikka (abstrakti järjestelmä kokonaisuutena) ei asu luonnossa. Mutta matematiikan perusrakenne on poimittu luonnosta, ja siihen pohjautuva pidemmälle kehitetty järjestelmä soveltuu siksi luonnon kuvaamiseen. Ihan todella abstrakteinkin matematiikan haara ei koskaan riko matematiikan kivijalassa olevia perusrakenteita. Esimerkkinä Eusan postaama video, joka liittyy kategoriateoriaan.

Matematiikan rakenteet eivät ole maailmassa olemassa itsenäisesti; ne syntyvät aivojen materiaalisten prosessien tuloksina. Tässä mielessä matematiikan “löytäminen” on pikemminkin sen keksimistä, ja vasta sen jälkeen kokeellisesti arvioidaan, miten hyvin keksitty formaali järjestelmä sattuu sopimaan luonnon käyttäytymiseen.

Toistaiseksi ihminen on löytänyt vain yhden formaalin järjestelmän, joka kuvaa luontoa hämmästyttävän hyvin. Se on matematiikka. Tosin matematiikan itsensä sisällä on varmasti rakenteita ja järjestelmiä, joita ei ole vielä löydetty. Ja ne saattavat avata uusia keinoja luonnon ymmärtämiseen.

Historiasta esimerkkejä ovat kompleksiluvut (1600-1800 luvuilla löydetty), joita ilman kvanttifysiikka ei käytännössä ole mahdollinen. Tai Riemannin geomteria (1800 luvulta), jota ilman yleinen suhteellisuusteoria olisi jäänyt muodostamatta. Tai ryhmäteoria (1800-1900 luvuilta), jota sovelletaan lukuisissa fysiikan teorioissa.

Voisi lopuksi kysyä vielä yhden konkreettisen kysymyksen:
Jos matematiikka olisi luonnon oma ominaisuus, miksi jokainen yksilö oppii sen eri tavalla – tai ei opi lainkaan? Miksi matemaattiset käsitteet ovat opittava kulttuurisen välityksen kautta eivätkä avaudu ihmiselle suoraan kuten aidosti luonnolliset kyvyt?

En ole sillä kannalla, että matematiikka on luonnon ominaisuus, vaan sillä kannalla, että luonto toimii erittäin säännönmukaisesti. Kun matematiikan perusrakenteet on poimittu luonnosta, niin väistämättä abstrakti matematiikka toimii luonnon selittämiseen, sillä sen perusrakenne on luonnosta poimittu.

Myös eläimet hallitsevat alkeellisen matematiikan, joten se ei ole vain ihmisen fiktiota: Number sense in animals

Eläimillä ei tietysti ole ihmisen numerojärjestelmää, mutta niiden aivot tuottavat samat tulokset kuin ihmisen aivot.

Tulee mieleen Timo Honkelan Rauhan kone -idea: suuri osa ihmisten välisistä ristiriidoista syntyy siitä, että käytämme samoista asioista eri sanoja ja eri asioista samoja sanoja. Luonnollinen kieli on väistämättä monimerkityksinen ja altis tulkinnoille. Onko meidän näkemyseroissamme ehkä kyse juuri tästä — saatamme hahmottaa saman ilmiön eri kielellisillä korostuksilla.

Kun luen argumenttejasi, huomaan itsekin pohtivani, missä määrin meillä edes on varsinaista erimielisyyttä. Esimerkiksi matematiikan alkuperästä: minullekin matematiikka syntyy luonnon havainnoinnista, mutta tuloksena on silti ihmismieleen rakennettu formaali, fiktiivinen kuvailukieli. Siltä osin näyttää siltä, että puhumme samasta prosessista — ihminen abstrahoi luonnosta saadun inspiraation ja luo siitä järjestelmän, joka ei ole luonnon ominaisuus, vaan kulttuurisesti kehittynyt työkalu.

Samoin matematiikan ennustusvoimasta: sinä korostat sitä, että koska perusrakenne on poimittu luonnosta, abstraktit kehitelmät luonnollisesti “sopivat” luontoon. Minä taas painotan, että ennustusvoima ei vielä kerro luonnon ja matematiikan ontologisesta vastaavuudesta, vaan mallinnuksen tehokkuudesta ja jatkuvasta sovittamisesta havaintoihin. Tämäkin näyttää enemmän painotuserolta kuin varsinaiselta periaatteelliselta ristiriidalta.

Myös keksimisen ja löytämisen suhteen olemme ehkä lähempänä toisiamme kuin sanat antavat ymmärtää. Kun sanot, että matematiikan perusrakenne on “poimittu luonnosta”, ja minä taas, että matematiikka “imitoi luontoa”, kyse voi olla kahdesta näkökulmasta samaan asiaan. Ihminen abstrahoi luonnon säännönmukaisuuksista matemaattisen kielen, mutta itse kieli ja sen rakenteet ovat silti aivojen tuottamia kulttuurisia fiktiota.

Eläinten numeeristen tai rationaalisten kykyjen suhteen minulla ei ole mitään tarvetta kiistää niiden olemassaoloa. Päinvastoin — uusimman tutkimuksen valossa monet eläimet pystyvät yllättävän sofistikoituneeseen päättelyyn ja hahmottamiseen. Se, mitä ne tekevät, on ehkä kuitenkin neurobiologista mallintamista ja määrien hahmotusta, ei varsinaista matematiikan järjestelmällistä kieltä. Tältäkin osin näyttää siltä, että saatamme tarkastella samaa ilmiötä hieman eri tasoilta.

Kun tämän kaiken kokoaa yhteen, minulle jää vaikutelma, että mahdollinen “erimielisyys” ei ehkä koske itse ilmiötä — vain tapaa, jolla sitä kuvailemme. Luonnon havainnoinnista abstrahoitu matematiikka on meille molemmille hyödyllinen ja toimiva kuvailukieli, mutta ei luonnon sisäinen ominaisuus. Ehkä ero ei siis ole ontologinen, vaan kielellinen ja painotuksellinen.