Matematiikka on huijausta. Lukuja ei ole.

[QS]

näkemystäni, että rationaalilukujen joukko Q = reaalilukujen joukko R:

Selasin läpi vain nopeasti, on pitkä kirjoitus. Varmasti useita virheitä löytyy, mutta poimin nyt yhden helpon kohdan:

"N:äänhän kuuluvat kaikki muotoa n+1 olevat luvut, jos n kuuluu N:ään. Ja luku 333333... voidaan määritellä äärettömänä summana 3+30+300+3000+... joka kuuluu N:ään, vaikka termejä olisi - ja kun niitä on - äärettömän monta. Tätä kautta N saataisiinkin yhtä mahtavaksi kuin R, jos luvuiksi kelpuutetaan äärettömän pitkät."

Ääretön ei kuulu luonnollisten lukujen joukkoon, ja summa 3+30+300+3000+... hajaantuu, joten se ei kuulu luonnollisten lukujen joukkoon. Luonnollisen luvun numeroita on äärellinen määrä, ei ääretön määrä.

Poimit epäolennaisen sivujuonen. Ja olen samaa mieltä, että tuossa on virhe. En sinuna lähtisi kritisoimaan jotain, mitä et ole voinut ymmärtää, koska et ole vaivaitunut lukemaan koko artikkelia ja poimimaan sen olennaisia pointteja.

Kuten sanoin, ajan kanssa virheitä voi poimia lisää. Sen verran pitkä vuodatus oli, että ei sitä nyt yhdessä illassa viitsi käydä läpi.

Seuraava kohta:

"Jos ei tarvitsisi pyyhkiä yli supistetussa muodossaan olevan luvun useita esiintymisiä, niin sitten lukuun n/m liitetty järjestysnumero i olisi helposti laskettavissa: i=(n-1)(n/2)+(n-1)(m-1)+m(m-1)/2. Tosin tämä lauseke pätee, jos lukuja luetellaan aina oikealta ylhäältä vasemmalle alaspäin eikä vuorotellen, mutta vastaavanlainen lauseke jossa esiintyisi tekijänä mod(2) saataisiin tässä käytetylle siksak-luetteloinnille.

Mutta koska näin ei voida tehdä, ja eri murtolukujen samat supistetut esitysmuodot samaistetaan, ei ole olemassa lausekkeellista bijektiivistä kuvausta N->Q. Meillä on siis vain käytäntö ja äärelliset tietokoneet murtolukujen liittämiseen luonnollisiin lukuihin."

Alleviivattua varten on jo 1800-luvulla löydetty Sternin-Brocotin puu, joka ei tietysti ole triviaali lauseke, mutta on täysin pätevä bijektio.

[Keckman]

Alleviivattua varten on jo 1800-luvulla löydetty Sternin-Brocotin puu, joka ei tietysti ole triviaali lauseke, mutta on täysin pätevä bijektio.

Kiitos tästä! Mielenkiintoista. Erittäin mielenkiintoista, mutta luulenpa, että se on kuitenkin jotenkin "algoritmillinen bijektio"?

Eli ei tarjoa lauseketta, vaan tavan konstruoida algoritmillisesti eli vain äärellisesti bijektion, jolloin vastaan tulee samat ongelmat joita esitin kritiikissäni. En tiedä vielä.

Tämä oli ensi "mutu". Mutta täytyy yrittää paneutua aiheeseen. Jos jaksaa. Nykyisin pääasialliset harrastukseni ovat algoritmiset taiteet, ei matematiikan teoriat.

[QS]

Alleviivattua varten on jo 1800-luvulla löydetty Sternin-Brocotin puu, joka ei tietysti ole triviaali lauseke, mutta on täysin pätevä bijektio.

Kiitos tästä! Mielenkiintoista. Erittäin mielenkiintoista, mutta luulenpa, että se on kuitenkin jotenkin "algoritmillinen bijektio"?

Tässä tapauksessa ei ole merkitystä miltä kuvaus eli funktio (Sternin-Brocotin puu) näyttää ulospäin. Tärkeintä on täsmällisesti määritelty ominaisuus: kuvaus on bijektio.

[Keckman]

Tässä tapauksessa ei ole merkitystä miltä kuvaus eli funktio (Sternin-Brocotin puu) näyttää ulospäin. Tärkeintä on täsmällisesti määritelty ominaisuus: kuvaus on bijektio.

Niinkö?! Niinkö koska sillä on niin hieno nimikin?!? Bijektiopuu?! Ei vakuuta minua.

Tuossa Sternin-Brocotin puussa käy vastaavalla tavalla kuin Cantorin taulukkoluettelotempussa:

Luonnolliset luvut kasvavat nopeammin kuin ne murtoluvut, joihin ne liitetään. Jokainen uusi askel käyttää aina suuremman luonnollisen luvun kuin murtoluku, jota se kuvaa. Luetteloon jää aina äärettömästi “liittämättömiä” luonnollisia lukuja. Näin syntyy noidankehä, jota ei voi koskaan sulkea.

Matematiikka sanoo: “kun prosessi jatkuu äärettömästi, kaikki luvut tulevat mukaan.” Mutta ääretön prosessi ei koskaan tapahdu – se vain oletetaan tapahtuneeksi. Bijektio on siis looginen leikki, ei todellinen ominaisuus.

Matematiikka leikkii äärettömyyden varjolla. Todellisuudessa ääretöntä ei koskaan saavuteta – vain ajatellaan saavutetuksi. Bijektioiden olemassaolo on siten uskonvarainen, ei todistettu asia.

Väännän monisanaisemmin rautalangasta:

Käy ihan samalla tavalla kuin Cantorin taulukkotempussa: kun luonnollisia lukuja liitetään rationaalilukuihin, niin ne luonnolliset luvut ovat aina ensimmäisen luvun jälkeen aina suurempia kuin ne murtoluvut joihin ne liitetään. Kuitenkin luonnollisten lukujen joukko on murtolukujen aito osajoukko ja ne luettelossa olevat luonnolliset luvutkin täytyy liittää johonkin luonnolliseen lukuun, mutta ne ovat aina isompia kuin ne luonnolliset luvut, joihin ne liitetään, mikä lisää niiden luonnollisten lukujen määrää, joita ei olla vielä liitetty mihinkään. Syntyy eräänlainen noidan kehä: ei päästä koskaan perille sinne, missä oltaisiin saavutettu jokin käsitteellinen saavuttamaton abstraktio: kaikki rationaaliluvut on liitetty luonnollisiin lukuihin?

[QS]

Tässä argumentissasi on myös virhe:

Oletetaan, että luonnolliset luvut voitaisiin luetella jossakin järjestyksessä.

f(0)=0
f(1)=5453533
f(2)=5367568797
f(3)=1

Yleensähän luonnolliset luvut luetellaan suuruusjärjestyksessä 0,1,2,... mutta tässä nyt oletetaan, että ne olisi voitu edes jossakin järjestyksessä luetella.

Konstruoidaan nyt luku i siten, että aina luvun f(n) kohdalla siihen lisätään f(n)+1. Aluksi i on siis 0 ja siihen lisätään f(0):n kohdalla f(0)+1. Saadaan

f(0)=0 i=0+1=1
f(1)=5453533 i=1+5453533+1=5453535
f(2)=5367568797 i=5453535+5367568797+1=5373022332
f(3)=1 i=5373022332+1=5373022333

Luku i eroaa varmasti kaikista jo luetelluista luvuista, onhan se niitä kaikkia suurempi. Siis luonnollisia lukuja ei voida luetella?

Kyllä voidaan luetella. Määrittelet luvut \(i_k\) siten, että luettelointi on bijektio

\(\displaystyle i_k = \sum_{0}^{k} \big(f(n)+1\big) \)

missä jokaisen askeleen jälkeen \(i_k\) on jo lueteltuja lukuja suurempi. Mutta ei tämä tarkoita, että \(i_k\) ei olisi luettelossa. Sitä ei vielä ole saavutettu, sillä saavuttaminen tapahtuu seuraavalla askeleella. Aina on olemassa indeksi \(m \gt k\) siten, että \(f(m) = i_k\). Tämä tarkoittaa sitä, että \(i_k\) ei missään vaiheessa ole luettelon ulkopuolinen luku, se tulee aina vastaan myöhemmin. Ääretöntä lukua \(i_k\) ei tietysti ole olemassa, sillä \(\infty\) ei kuulu luonnollisiin lukuihin.

Cantorin diagonaaliargumentti rakentuu ihan eri tavalla kuin muodostamasi luettelo \(\{i_k\}\).

Sitä verkkosivun kirjoitustasi on hankala seurata, kun pyrit määrittelemään matematiikan käsitteitä ja rakenteita uudestaan eri tavalla kuin ne on määritelty matematiikassa. Uudelleen määritellyt rakenteet pitäisi nimetä eri tavalla, esim Keckmannin luvut pitäisi merkitä vaikkapa \(\mathbb{K_eck}\), ja sitten laatia jämäkät aksioomat, joita voit kutsua Keckmanin aksiomaattiseksi järjestelmäksi. . Kun sanot "Bijektioiden olemassaolo on siten uskonvarainen, ei todistettu asia.", niin tämän tilalle pitää muodostaa Keckmannin järjestelmä, jossa bijektioon ei nojata. Ei riitä, että toteat bijektion määrittelemättömäksi käsitteeksi.

[Keckman]

Minä taas en ymmärrä tätä summalausekettasi:



Miksi yrität luetella luonnollisia lukuja noin monimutkaisella summalausekkeella? Yleensähän niitä luetellaan ihan suuruusjärjestyksessä 1,2,3,4,...,n,n+1,...

Eli f(n)=n.

Selostan uudestaan. Vähän toisella tavalla. Oletin, että jossain järjestyksessä ne ollaan pystytty luettelemaan. En suuruusjärjestyksessä. Sehän on lievempi oletus. Ihan sama missä järjestyksessä, mutta oletetaan, että on jokin luettelo luonnollisille luetteloille:

f(1)=a
f(2)=b
f(3)=c
f(4)=d
f(5)=e
f(6)=f
f(7)=g
f(8)=h
f(9)=i
f(10)=j
.
.
.

Aletaan nyt käymään läpi sitä luetteloa ja konstruoidaan joka rivillä luku, joka on summa kaikista edellisistä luvuista:

f(1)=a
Konstruoidaan luku a
f(2)=b
Konstruoidaan luku a+b
f(3)=c
Konstruoidaan luku a+b+c
f(4)=d
Konstruoidaan luku a+b+c+d
f(5)=e
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e
f(6)=f
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f
f(7)=g
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f+g
f(8)=h
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f+g+h
f(9)=i
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f+g+h+i
f(10)=j
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f+g+h+i+j

Ensimmäistä a:ta lukuunottamatta tuo konstruoitu luku varmasti puuttuu siihen mennessä listassa olleista luvuista, sillä onhan se niitä kaikkia suurempi. Tämä vastaa yksi yhteen sitä tapaa, millä Cantor todisti, että reaalilukuja ei voida luetella, koska on konstruoitavissa luku, mikä eroaa kaikista jo luetelluista luvuista. Siis aivan vastaavasta syystä kuin reaalilukuja ei voida luetella, niin luonnollisia lukuja ei voida luetella missään järjestyksessä.

[QS]

Nyt minä en taas ymmärtänyt mitä sanot. Kirjoituksesi on tässä:

Oletetaan, että luonnolliset luvut voitaisiin luetella jossakin järjestyksessä.

f(0)=0
f(1)=5453533
f(2)=5367568797
f(3)=1

Yleensähän luonnolliset luvut luetellaan suuruusjärjestyksessä 0,1,2,... mutta tässä nyt oletetaan, että ne olisi voitu edes jossakin järjestyksessä luetella.

Konstruoidaan nyt luku i siten, että aina luvun f(n) kohdalla siihen lisätään f(n)+1. Aluksi i on siis 0 ja siihen lisätään f(0):n kohdalla f(0)+1. Saadaan

f(0)=0 i=0+1=1
f(1)=5453533 i=1+5453533+1=5453535
f(2)=5367568797 i=5453535+5367568797+1=5373022333
f(3)=1 i=5373022333+1=5373022334

Luku i eroaa varmasti kaikista jo luetelluista luvuista, onhan se niitä kaikkia suurempi. Siis luonnollisia lukuja ei voida luetella?

(merkitsin lihavoituna aluperäisen tekstisi pienen yhteenlaskuvirheen, mutta sillä ei väliä).

Päättelet (alleviivasin sen osan), että luonnollisia lukuja ei voi luetteloida, sillä i (huom: i) eroaa jo luetelluista luvuista. Tässä käytät argumenttina nimenomaan indeksiä i (luonnollinen luku), ja sitä, että se eroaa jo luetelluista luvuista, kun on niitä suurempi.

Kun käytät argumenttina ineksiä i, niin tietysti ensin muodostaan funktio, jolla i saadaan laskettua. Funktio on

\(\displaystyle i_k = \sum_{0}^{k} \big(f(n)+1\big)\)

Kun vertaillaan luettelosi riveihin, niin \(i_0 = 1, i_1 = 5453535, i_2 = 5373022333\) ja niin edelleen.

[Keckman]

No hyvä on. Sovitaan, että artikkelissani oli virhe. Keskity nyt ajatuksella tähän uuteen versioon. Minusta tämä on aika yksinkertaista. Toistan. Copy/pastaus:

Selostan uudestaan. Vähän toisella tavalla. Oletin, että jossain järjestyksessä ne ollaan pystytty luettelemaan. En suuruusjärjestyksessä. Sehän on lievempi oletus. Ihan sama missä järjestyksessä, mutta oletetaan, että on jokin luettelo luonnollisille luetteloille:

f(1)=a
f(2)=b
f(3)=c
f(4)=d
f(5)=e
f(6)=f
f(7)=g
f(8)=h
f(9)=i
f(10)=j
.
.
.

Aletaan nyt käymään läpi sitä luetteloa ja konstruoidaan joka rivillä luku, joka on summa kaikista edellisistä luvuista:

f(1)=a
Konstruoidaan luku a
f(2)=b
Konstruoidaan luku a+b
f(3)=c
Konstruoidaan luku a+b+c
f(4)=d
Konstruoidaan luku a+b+c+d
f(5)=e
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e
f(6)=f
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f
f(7)=g
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f+g
f(8)=h
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f+g+h
f(9)=i
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f+g+h+i
f(10)=j
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f+g+h+i+j

Ensimmäistä a:ta lukuunottamatta tuo konstruoitu luku varmasti puuttuu siihen mennessä listassa olleista luvuista, sillä onhan se niitä kaikkia suurempi. Tämä vastaa yksi yhteen sitä tapaa, millä Cantor todisti, että reaalilukuja ei voida luetella, koska on konstruoitavissa luku, mikä eroaa kaikista jo luetelluista luvuista. Siis aivan vastaavasta syystä kuin reaalilukuja ei voida luetella, niin luonnollisia lukuja ei voida luetella missään järjestyksessä.

[Keckman]

Kerta kiellon päälle:

Sanotaan, että luonnolliset luvut voidaan luetella missä tahansa järjestyksessä. Olkoon siis jokin luettelo:

f(1)=a
f(2)=b
f(3)=c
f(4)=d
...

Nyt konstruoidaan jokaisella rivillä uusi luku, joka on summa kaikista sitä edeltävistä:

a, a+b, a+b+c, a+b+c+d, ...

Ensimmäistä lukuun ottamatta jokainen näistä konstruoiduista luvuista on varmasti suurempi kuin yksikään siihen mennessä listatuista luvuista.
Siis jokaisessa vaiheessa syntyy uusi luku, jota ei vielä ole luettelossa.

Tämä vastaa täsmälleen Cantorin todistusta reaalilukujen ei-numeroituvuudesta: konstruoidaan luku, joka eroaa jokaisesta aiemmin luetellusta.
Jos Cantorin päättely pätee reaalilukuihin, sen täytyy päteä myös luonnollisiin lukuihin — tai sitten se ei päde lainkaan.

Johtopäätös on selvä:
Jos hyväksymme Cantorin logiikan, meidän on hyväksyttävä myös se, ettei luonnollisia lukuja voida luetella.

[QS]

No hyvä on. Sovitaan, että artikkelissani oli virhe. Keskity nyt ajatuksella tähän uuteen versioon. Minusta tämä on aika yksinkertaista. Toistan. Copy/pastaus:

Selostan uudestaan. Vähän toisella tavalla. Oletin, että jossain järjestyksessä ne ollaan pystytty luettelemaan. En suuruusjärjestyksessä. Sehän on lievempi oletus. Ihan sama missä järjestyksessä, mutta oletetaan, että on jokin luettelo luonnollisille luetteloille:

f(1)=a
f(2)=b
f(3)=c
f(4)=d
f(5)=e
f(6)=f
f(7)=g
f(8)=h
f(9)=i
f(10)=j
.
.
.

Aletaan nyt käymään läpi sitä luetteloa ja konstruoidaan joka rivillä luku, joka on summa kaikista edellisistä luvuista:

f(1)=a
Konstruoidaan luku a
f(2)=b
Konstruoidaan luku a+b
f(3)=c
Konstruoidaan luku a+b+c
f(4)=d
Konstruoidaan luku a+b+c+d
f(5)=e
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e
f(6)=f
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f
f(7)=g
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f+g
f(8)=h
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f+g+h
f(9)=i
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f+g+h+i
f(10)=j
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f+g+h+i+j

Ensimmäistä a:ta lukuunottamatta tuo konstruoitu luku varmasti puuttuu siihen mennessä listassa olleista luvuista, sillä onhan se niitä kaikkia suurempi. Tämä vastaa yksi yhteen sitä tapaa, millä Cantor todisti, että reaalilukuja ei voida luetella, koska on konstruoitavissa luku, mikä eroaa kaikista jo luetelluista luvuista. Siis aivan vastaavasta syystä kuin reaalilukuja ei voida luetella, niin luonnollisia lukuja ei voida luetella missään järjestyksessä.

Tässä on sama virhe kuin edellisessä versiossasi. Muodostat lukuja askeleittain, ja sanot, että jonkin askeleen jälkeen sitä seuraava luku puuttuu jo muodostetuista luvuista. Tietysti puuttuu, mutta se tulee mukaan myöhemmillä askelilla. Luku on mukana, kun kaikki luvut on luetteloitu. Toisin sanoen se on mukana koko luettelossa.

Cantorin diagonaaliargumentti ei ole sama kuin edellä kuvailemasi. Cantorin argumentissa muodostetaan yksi tietty reaaliluku, joka puuttuu kaikista luettelon luvuista. Se ei puutu vain jo muodostetuista luvuista, vaan aivan kaikista senkin jälkeen, kun koko luettelo on muodostettu.