Matematiikka on huijausta. Lukuja ei ole.

[Disputator]

Iltapäivää!

Keskustelussa mielenkiintoisia pointteja. En nyt ole ihan varma kaikesta argumentaatiosta, mutta kysytään nyt tämä:

Hyväksytkö Keckman luonnollisten lukujen {1,2,3,...} olemassaolon "listana" tai luettelona, joka sisältää "äärettömän määrän" alkioita?

Mun mielestä (ja kaikki matemaatikot/fyysikot/kaikki ihmiset ym. ) luonnollisten lukujen joukko on "ääretön lukumäärältään", mikä siinä on ongelmana?

Laitoin lainausmerkkejä, siksi että sanalliset kuvailut eivät vastaa aina matemaattisesti tarkkaa määritelmää, mutta tässä kuitenkin kuvaaavat perusideaa riittävästi.

[Disputator]

Helposti voidaan ajatella etäinen sivilisaatio, jonka käsitteistössä on samat kokonaisluvut kuin meillä. Jos ihmiskunta kohtaisi (mitä tuskin tulee tapahtumaan) toisen sivilisaation, niin yhteisen kielen hakeminen alkaisi matematiikasta. Ensin kokonaisluvut, sitten peruslaskulaskutoimitukset, reaaliluvut, rationaaliluvut, ryhmät, joukot jne jne

Minulle matematiikka on edelleen paljolti opittua, osittain aivopestyä. Jos kiinnostaa tutustua näkemyksiini, niin tuolla on vanha artikkelini, missä hahmottelen perustellusti näkemystäni, että rationaalilukujen joukko Q = reaalilukujen joukko R:

https://petke.info/cantor.html

Ja siitä näkemyksestä olette varmasti eri mieltä. Saatte olla, mutta niin saan olla minäkin eri mieltä teidän kanssa.

Sun perustelut ovat humpuukia ja olet yksiselitteisesti väärässä, et ymmärrä oikein mitä rationaali- tai reaaliluvut ovat. Ei millään pahalla, mutta joskus totuus pitää kertoa suoraan.

Reaaliluvut voidaan konstruoida matemaattisesti lähtien rationaaliluvuista, usealla eri tavalla (jotka ovat keskenään yhtäpitäviä) ja reaalilukuja on Cantorin diagonaaliargumentin mukaan "enemmän" kuin rationaalilukuja tai kokonaislukuja.

[Keckman]

Sun perustelut ovat humpuukia ja olet yksiselitteisesti väärässä, et ymmärrä oikein mitä rationaali- tai reaaliluvut ovat.

Ja sulla taas ei näytä olevan yhtäkään aiheeseen liittyvää perustelua väitteellesi. En voi sanoa, että olisit väärässä, ja että perustelusi olisivat humpuukia, kun et esitä yhtäkään perustelua.

[QS]

Cantorin argumentissa löydetään luku, joka ei kuulu muodostettuun luetteloon senkään jälkeen kun koko luettelo on muodostettu.

Sinun argumentissasi ei löydetä lukua, joka ei kuuluisi koko luetteloon. Toisin sanoen menetelmäsi ei tuota sellaista luonnollista lukua, joka poikkeaisi kaikista luetteloiduista luonnollisista luvuista. Menetelmäsi osoittaa vain sen, että jokin luku ei kuulu luettelon alkuosaan, mutta se ei osoita sitä, etteikö luku kuuluisi luettelon myöhemiin osiin.

Ajatus siitä, että koko ääretön lista olisi “muodostettu”, on itsessään metafyysinen — ei matemaattinen. Ääretöntä listaa ei voida koskaan konkreettisesti muodostaa, vaan sen olemassaolo on pelkkä oletus, jota käsitellään ikään kuin se olisi todellinen olio.

Cantorin argumentti tuottaa luvun, joka ei missään listan muodostamisen vaiheessa kuulu listaan.
Aivan samoin tekee oma menetelmäni. Erona on vain se, että minä en oleta “valmista ääretöntä listaa”, koska sellainen oletus on jo lähtökohtaisesti järjetön.

Okei, siinä tapauksessa et voi käyttää todistuksesi perustana tätä, jonka sanoit: "Cantorin argumentissa tehdään täsmälleen sama asia kuin minä teen luonnollisten lukujen kohdalla".

Nyt kuitenkin sanot, että et hyväksy Cantorin diagonaaliargumenttia?

Kuten aiemmin sanoin, kirjoituksessasi on lukuisia matematiikan käsitteitä, joita et hyväksy. Kun näin on, niin sinun ei tule käyttää mainittuja matematiikan käsitteitä, joita et hyväksy. Sen sijaan sinun tulisi muodostaa oma aksiomaattinen järjestelmä, joka ei nojaa matematiikan aksioomiin tai lauseisiin.

Tottakai voin käyttää Cantorin diagonaaliargumenttia — nimenomaan soveltamalla sitä samalla logiikalla toiseen joukkoon.

Mutta kun homman ydin on se, että sinä et käytä etkä sovella kirjoittamassasi tekstissä Cantorin diagonaaliargumenttia.

Muodostamasi lista ei ole Cantorin diagonaaliargumentin mukainen. Cantor löytää reaaliluvun, joka ei ole listalla vaikka listan muodostamista jatkettaisiin maailman tappiin asti. Sinun argumenttisi sen sijaan osoittaa vain sen, että jokin luku ei ole vielä listalla. Se ei osoita etteikö luku ilmestyisi listalle myöhemmin, kun listan muodostaminen jatkuu.

Itse asiassa havainnollistat algoritmillasi, että luonnollisia lukuja on tosiaan "vähemmän" kuin reaalilukuja, ja teet empiirisen vahvistuksen (Cantorin havainnolle) siitä, että reaalilukujen joukon mahtavuus on suurempi kuin luonnollisten . Tämä on aika ironista, kun tekstisi tarkoitus on ilmeisesti päinvastainen.

[Keckman]

Muodostamasi lista ei ole Cantorin diagonaaliargumentin mukainen. Cantor löytää reaaliluvun, joka ei ole listalla vaikka listan muodostamista jatkettaisiin maailman tappiin asti. Sinun argumenttisi sen sijaan osoittaa vain sen, että jokin luku ei ole vielä listalla. Se ei osoita etteikö luku ilmestyisi listalle myöhemmin, kun listan muodostaminen jatkuu.

Muodostan luvun, mikä ei ole listalla kun lista on käyty kokonaan läpi, koska se on suurempi kuin mikään listassa oleva luku.

[QS]

Muodostamasi lista ei ole Cantorin diagonaaliargumentin mukainen. Cantor löytää reaaliluvun, joka ei ole listalla vaikka listan muodostamista jatkettaisiin maailman tappiin asti. Sinun argumenttisi sen sijaan osoittaa vain sen, että jokin luku ei ole vielä listalla. Se ei osoita etteikö luku ilmestyisi listalle myöhemmin, kun listan muodostaminen jatkuu.

Muodostan luvun, mikä ei ole listalla kun lista on käyty kokonaan läpi, koska se on suurempi kuin mikään listassa oleva luku.

Algoritmissasi ei ole stop-käskyä, jossa se pysähtyisi. Listan muodostaminen jatkuu pysähtymättä, ja jokainen muodostamasi luku tulee listalle jossain vaiheessa. Ihan helposti näet tuon itsekin, kun katsot listasi muodostamisen sääntöjä.

[Keckman]

Muodostamasi lista ei ole Cantorin diagonaaliargumentin mukainen. Cantor löytää reaaliluvun, joka ei ole listalla vaikka listan muodostamista jatkettaisiin maailman tappiin asti. Sinun argumenttisi sen sijaan osoittaa vain sen, että jokin luku ei ole vielä listalla. Se ei osoita etteikö luku ilmestyisi listalle myöhemmin, kun listan muodostaminen jatkuu.

Muodostan luvun, mikä ei ole listalla kun lista on käyty kokonaan läpi, koska se on suurempi kuin mikään listassa oleva luku.

Algoritmissasi ei ole stop-käskyä, jossa se pysähtyisi. Listan muodostaminen jatkuu pysähtymättä, ja jokainen muodostamasi luku tulee listalle jossain vaiheessa. Ihan helposti näet tuon itsekin, kun katsot listasi muodostamisen sääntöjä.

Puhutko sä nyt tietokone-ohjelmasta? Minä puhun jossain järjestyksessä listatuista luonnollisista luvuista. Ei suuruusjärjestyksessä, vaan ylipäätänsä jossain järjestyksessä. Käyn KOKO listan läpi. Aivan yhtä absurdisti kuin Cantor mukamas käy koko reaalilukujen listan läpi. Konstruoin luvun, joka varmasti puuttuu listasta, luvun a+b+c+d+..., mikä on varmasti suurempi kuin kaikki listassa olevat luvut a,b,c,d,..., koska se on suurempi kuin mikään niistä.

Osuvin kritiikki minun argumenttia vastaan on se, että luku a+b+c+d+... ei ole luonnollinen luku, mutta voin kuitenkin vielä jatkaa ajatusta:

luettelossani:

f(1)=a → a
f(2)=b → a+b
f(3)=c → a+b+c
f(4)=d → a+b+c+d

jokainen askel tuottaa luvun, joka kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon. Mutta jos “kaikki askeleet” oletetaan suoritetuiksi, syntyy luku, joka ei enää kuulu luonnollisiin lukuihin.

Siis itse oletus, että ääretön lista voidaan “käydä läpi”, johtaa ristiriitaan:
prosessin tuloksena saadaan olio, joka ei kuulu siihen joukkoon, jonka sisällä väitettiin toimittavan.

[Eusa]

Muodostamasi lista ei ole Cantorin diagonaaliargumentin mukainen. Cantor löytää reaaliluvun, joka ei ole listalla vaikka listan muodostamista jatkettaisiin maailman tappiin asti. Sinun argumenttisi sen sijaan osoittaa vain sen, että jokin luku ei ole vielä listalla. Se ei osoita etteikö luku ilmestyisi listalle myöhemmin, kun listan muodostaminen jatkuu.

Muodostan luvun, mikä ei ole listalla kun lista on käyty kokonaan läpi, koska se on suurempi kuin mikään listassa oleva luku.

Algoritmissasi ei ole stop-käskyä, jossa se pysähtyisi. Listan muodostaminen jatkuu pysähtymättä, ja jokainen muodostamasi luku tulee listalle jossain vaiheessa. Ihan helposti näet tuon itsekin, kun katsot listasi muodostamisen sääntöjä.

Esittämäni argumentti prosessien hyväksymättömyydestä luvuiksi kestää.

Eli kaikki ne reaaliluvut, jotka eivät ole muodostettavissa äärellisellä prosessilla, eivät ole lukuja. Sitten alkaa topologis-geometrinen jappailu siitä, voisiko esim. π olla luku, kun se on muuten määriteltävissä geometrisena suhteena, vaikka likiarvo vaatiikin prosessin, jne. Jos minulta kysytään (onneksi ei kysytä), hyväksyisin topologis-geometriseen logiikkaan sidotut yksikäsitteiset luvut omilla merkkinotaatioillaan "aitojen" lukujen joukkoon.

[QS]

Puhutko sä nyt tietokone-ohjelmasta? Minä puhun jossain järjestyksessä listatuista luonnollisista luvuista. Ei suuruusjärjestyksessä, vaan ylipäätänsä jossain järjestyksessä. Käyn KOKO listan läpi.

Et käy. Väität, että saat jossain kohti luvun, jonka ei olisi mahdollista esiintyä koko listalla. Väitteesi on väärin, ja sen pystyy näkemään jopa maalaisjärjellä. Ei tarvita edes lukuteorian jatkokurssia.

Aivan yhtä absurdisti kuin Cantor mukamas käy koko reaalilukujen listan läpi.

Cantor ei käy valittua reaalilukujen listaa kokonaan läpi, eikä näin väitä. Cantor perustelee erittäin loogisesti, että on olemassa reaaliluku, joka ei voi esiintyä listalla vaikka se käytäisiin kokonaan läpi.

(omituista muuten, että toteat nyt itsekin koko listan läpikäynnin mahdottomaksi, mutta edellisessä lauseessa sanot itse käyväsi caps-lock päällä koko äärettömän listan läpi???)

Totuus on tietysti se, että kukaan ei pysty konkreettisesti muodostamaan ääretöntä listaa. Kuitenkin matematiikan keinoin on mahdollista selvittää noiden listojen ominaisuuksia. Muun muassa Cantor selvitti näitä asioita.

Konstruoin luvun, joka varmasti puuttuu listasta, luvun a+b+c+d+..., mikä on varmasti suurempi kuin kaikki listassa olevat luvut a,b,c,d,..., koska se on suurempi kuin mikään niistä.

Luonnollisisista luvuista muodostettu summa a+b+c+d+... ei ole luonnollinen luku, joten se ei kuulu muodostamaasi listaan.

Osuvin kritiikki minun argumenttia vastaan on se, että luku a+b+c+d+... ei ole luonnollinen luku, mutta voin kuitenkin vielä jatkaa ajatusta:

Jep, se ei ole luonnollinen luku, joten ei kannata jatkaa ajatusta.

[Keckman]

Cantor ei käy valittua reaalilukujen listaa kokonaan läpi, eikä näin väitä. Cantor perustelee erittäin loogisesti, että on olemassa reaaliluku, joka ei voi esiintyä listalla vaikka se käytäisiin kokonaan läpi.

"Cantor ei käy listaa kokonaan läpi"...."vaikka se käytäisiin kokonaan läpi"

Koita nyt sinäkin jo päättää, että käykö vaiko ei Cantor koko listaa läpi!!!