Fysiikan kaavalotto

[Eusa]

Hm. Olisiko siis suuntatensori tangenttiavaruudessa, jonka dimensio on sama kuin moniston M?

No, käyrän kanssa pelaaminen... jaa-a.

Tensoritkin asuvat vektoriavaruudessa, mutta alkuperäisessä viestissäni tangenttiavaruutta tai muutakaan vektoriavaruutta ei vielä ole määritelty. Se voidaan toki tehdä, mutta on homma erikseen.

Kysytyn otuksen sanallista nimeämistä pitääkin siksi miettiä kohtuu tarkkaan. Vastaus on kuitenkin ihan helppo ja selkeä.

Jos se sitten on vain derivaatta, lukuarvo R:ssä, skalaari...

Kyllä, \(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}\), joten se on skalaari.

Tämä on erikoinen määritelmällinen pilkunhionta-kysymys, jonka takia sen esitin. Joissakin matematiikan lähteissäkin \(u_{\gamma,p}\) nimetään 'tangenttivektoriksi'. Mutta ei kaikissa.

Jos määrittely olisi \(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}^n\), niin kyseessä (ainakin näyttäisi) olevan n-dimensioisen vektoriavaruuden vektori, jolloin vektori-sana olisi ihan perusteltu ainakin kun samalla \(dim(M)=n\).

On kyllä mahdollista puhua abstraktista vektorista, jota ei lausuta minkään vektoriavaruuden kantavektorijoukolla. Mutta kun vektori on abstrakti, niin se ei voi olla \(\mathbb{R}\):n alkio, joka on tosiaan skalaari eikä siis abstrakti vektori. Tämäkään ei vektori-nimitystä puolla.

Jätän tämän nyt vielä tähän roikkumaan ilman että kerron oman vastaukseni.

Näyttää, että lukuarvo kuvaa käyrän suunnassa tapahtuvaa muutosvauhtia.

...en nimittelisi vauhdiksi.

Kyllä. \(u_{\gamma,p}\) ilmaisee funktion f arvon muutoksen nopeuden käyrän \(\gamma\) suunnassa. Tässä \(f\) derivoidaan \(\lambda\):n suhteen, ja tuon derivaatan suunta on sama kuin käyrän \(\gamma\). Eräänlainen suuntaderivaatta.

Fysiikassa otuksen nimitys on joskus 'nopeus', joka on kuitenkin hiukan eri asia kuin 'nopeusvektori'. Nopeusvektorin määrittely vaatii M:n tangettiavaruuden. Tangenttiavaruus voidaan esimerkiksi indusoida paikallisesta koordinaatistosta, johon moniston pisteet p kuvataan koordinaattifunktioilla.

'Vauhti' ei tässä ole myöskään oikea nimitys, sillä se vaatii sisätulolla varustetun tangenttiavaruuden, jotta nopeusvektorin pituus voidaan ylipäänsä määritellä.

Yleensä käsitteiden sisältöön pureuduttaessa, analyysille on vähintään kaksi tulokulmaa, erityisesti fysiikassa - muistettakoon ketjun otsikko.

Vauhti voidaan ajatella nopeuden itseisarvona mutta myös itsenäisenä suureena, varsinkin tarkennettuna käsitteenä muutosvauhti. Vakiintuneesti fysikaalisesti toimivissa koordinaatistoissa ei nopeuden itseisarvolle sallita kuin arvot alle kausaliteetin vauhdin c.

Mielenkiintoista olisi tarkastella mitä ehkä hyperbolisia lisäominaisuuksia monistolta M olisi edellytettävä, jotta \(u_{\gamma,p}\) osoittautuisi rapiditeetiksi...

[Disputator]

Otetaan vähän helpompi. Kuvaus

\(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}\)

on lineaarinen. M on sileä monisto, jonka käyrä \(\gamma:\mathbb{R}\to M\). Lisäksi \(p\in M\) ja \(\gamma(\lambda)=p\), missä \(\lambda\) on käyräparametri. Oletetaan sileä funktio \(f:M\to\mathbb{R}\). Määritellään kuvaus

\(f\mapsto u_{\gamma,p}(f):=(f\circ\gamma)'(\lambda).\)

Minkä nimen antaisit \(u_{\gamma,p}\):lle ?

 

Heh, miten olisi nolla(vektori)?

Nimittäin, kun ensin luin tämän, niin tulkitsin asian niin, että tuo piste \(p\in M\) on kiinteä piste ja käyrä \(\gamma(\lambda)\equiv p\) kaikilla \(\lambda\in\mathbb{R}\), jolloin:

\((f\circ\gamma)(\lambda) = f(\gamma(\lambda)) =f(p)\)

ja siten \(f\mapsto u_{\gamma,p}(f)=(f\circ\gamma)'(\lambda)\equiv 0.\)

Jos tuossa tuo \(\gamma(\lambda)\) ei ole vakio, niin silloin se piirtää monistolle M käyrää ja tuo määritelmä vaikuttaisi sellaisenaan antavan jokaiseen käyrän pisteeseen eräänlaisen tangenttivektorin. Ei tuossa kai mitään väärää ole, mutta tuossa määritellään "tangenttivektori" kaikkiin käyrän pisteisiin.

Tavallaan olisi hyvä tarkastella käyrän kuvan yhtä pistettä \(p = \gamma(0)\) jolloin \(p(\gamma)\)olisi käyrä joka kulkee pisteen p kautta. Sitten tuota määritelmää \(u_{\gamma,p}\) voisi hieman muokata:

\(f\mapsto u_{\gamma,p}(f):=(f\circ\gamma)'(\lambda)|_{\lambda=0}.\)

Silloin tuo olisi tietyn määritelmän mukaan käyrän \(\gamma\) tangenttivektori pisteessä p. Lisäksi tuon voi tulkita olevan reaaliakselin pisteen \(\lambda = 0\) tangenttiavaruuden \(T_0 \mathbb{R}\) tangenttivektorin \(\frac{d}{dt}\) push-forward \(\gamma_{*} \frac{d}{dt}\), siis:

\((\gamma_{*} \frac{d}{dt})(f)=u_{\gamma,p}(f)\),

joka on tosi kaikilla f, joten:

\(\gamma_{*} \frac{d}{dt}=u_{\gamma,p}\)

Eli lukitsen vastaukseni Kaavalottoon ylläolevaksi, heh. No ei tossakaan ole kyllä mitään tolkkua vaikka muodollisesti oikein onkin Et varmaankaan tätä kysynyt, mutta menkööt nyt mun vastauksena. Kysymyksesi oli ymmärtääkseni tangenttiavaruuden määrittelyyn liittyvä.

Mun oppimani tangenttiavaruus on oleellisesti derivaattaoperaattorien joukko pisteen p ympäristössä määriteltyihin funktioihin ja yllä oleva oli siinä hengessä kirjoitettu.

Joo, nyt menee taas monimutkaiseksi. Tämä tangenttivektoribisnes on kyllä oikea pilkunviilauksen malliesimerkki, kuten alla toteatkin.

...
Tämä on erikoinen määritelmällinen pilkunhionta-kysymys, jonka takia sen esitin. Joissakin matematiikan lähteissäkin \(u_{\gamma,p}\) nimetään 'tangenttivektoriksi'. Mutta ei kaikissa.

Multa hävisi melkoinen osa tekstiä vahingossa ja siksi loppuosa on vähän niukanlainen, en jaksanut enää kirjoittaa uudestaan pitemmin.

[Disputator]

Laitetaan tälläinen mystinen kaava:

\(\partial^2=0\)

Tuolle löytyy määritelmiä sekä fysiikasta ja matematiikasta. Eli oikeita vastauksia on enemmän kuin yksi.

Lisäksi ylläolevaan täysin liittymätön klassinen:

\(F\delta = 1\).

ja sitten vielä yksi, jolla on myös sovelluksia fysiikassa ja matematiikassa (tälläkin on monia oikeita vastauksia)

\(\delta F = 0\).

[QS]

Otetaan vähän helpompi. Kuvaus

\(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}\)

on lineaarinen. M on sileä monisto, jonka käyrä \(\gamma:\mathbb{R}\to M\). Lisäksi \(p\in M\) ja \(\gamma(\lambda)=p\), missä \(\lambda\) on käyräparametri. Oletetaan sileä funktio \(f:M\to\mathbb{R}\). Määritellään kuvaus

\(f\mapsto u_{\gamma,p}(f):=(f\circ\gamma)'(\lambda).\)

Minkä nimen antaisit \(u_{\gamma,p}\):lle ?

 

Heh, miten olisi nolla(vektori)?

Nimittäin, kun ensin luin tämän, niin tulkitsin asian niin, että tuo piste \(p\in M\) on kiinteä piste ja käyrä \(\gamma(\lambda)\equiv p\) kaikilla \(\lambda\in\mathbb{R}\), jolloin:

\((f\circ\gamma)(\lambda) = f(\gamma(\lambda)) =f(p)\)

ja siten \(f\mapsto u_{\gamma,p}(f)=(f\circ\gamma)'(\lambda)\equiv 0.\)

Jos tuossa tuo \(\gamma(\lambda)\) ei ole vakio, niin silloin se piirtää monistolle M käyrää ja tuo määritelmä vaikuttaisi sellaisenaan antavan jokaiseen käyrän pisteeseen eräänlaisen tangenttivektorin. Ei tuossa kai mitään väärää ole, mutta tuossa määritellään "tangenttivektori" kaikkiin käyrän pisteisiin.

Tavallaan olisi hyvä tarkastella käyrän kuvan yhtä pistettä \(p = \gamma(0)\) jolloin \(p(\gamma)\)olisi käyrä joka kulkee pisteen p kautta. Sitten tuota määritelmää \(u_{\gamma,p}\) voisi hieman muokata:

\(f\mapsto u_{\gamma,p}(f):=(f\circ\gamma)'(\lambda)|_{\lambda=0}.\)

Silloin tuo olisi tietyn määritelmän mukaan käyrän \(\gamma\) tangenttivektori pisteessä p. Lisäksi tuon voi tulkita olevan reaaliakselin pisteen \(\lambda = 0\) tangenttiavaruuden \(T_0 \mathbb{R}\) tangenttivektorin \(\frac{d}{dt}\) push-forward \(\gamma_{*} \frac{d}{dt}\), siis:

\((\gamma_{*} \frac{d}{dt})(f)=u_{\gamma,p}(f)\),

joka on tosi kaikilla f, joten:

\(\gamma_{*} \frac{d}{dt}=u_{\gamma,p}\)

Eli lukitsen vastaukseni Kaavalottoon ylläolevaksi, heh. No ei tossakaan ole kyllä mitään tolkkua vaikka muodollisesti oikein onkin Et varmaankaan tätä kysynyt, mutta menkööt nyt mun vastauksena. Kysymyksesi oli ymmärtääkseni tangenttiavaruuden määrittelyyn liittyvä.

Mun oppimani tangenttiavaruus on oleellisesti derivaattaoperaattorien joukko pisteen p ympäristössä määriteltyihin funktioihin ja yllä oleva oli siinä hengessä kirjoitettu.

Joo, nyt menee taas monimutkaiseksi. Tämä tangenttivektoribisnes on kyllä oikea pilkunviilauksen malliesimerkki, kuten alla toteatkin.

...
Tämä on erikoinen määritelmällinen pilkunhionta-kysymys, jonka takia sen esitin. Joissakin matematiikan lähteissäkin \(u_{\gamma,p}\) nimetään 'tangenttivektoriksi'. Mutta ei kaikissa.

Multa hävisi melkoinen osa tekstiä vahingossa ja siksi loppuosa on vähän niukanlainen, en jaksanut enää kirjoittaa uudestaan pitemmin.

Jösses. Mulla oli ekassa viestissä virheellisesti joka paikassa \(\lambda\), kun piti olla juurikin \(\gamma(0)\) tai \(\gamma(\lambda_0)\). Huomasit virheen, itse olin sokea tuolle.

Tuo minkä sanoit, että tangenttiavaruus on derivaattaoperaattorien joukko, on se mitä oikeastaan hain. En nyt ehdi tarkasti muotoilla, mutta pisteeseen p muodostetaan derivaattaoperaattorien joukko \({u_{\gamma,p}}\) käyttämällä kaikkia pisteen p kautta kulkevia käyriä \(\gamma\).

Tästä sitten voidaan muodostaa tangenttiavaruus, jonka kanta idusoidaan esimerkiksi paikallisista koordinaattifunktioista.

Tässä oli tuo tangenttivektori tai nopeusvektori -käsitteen vektori-sana, joka on erikoinen. Ennen tangenttiavaruuden määrittelyä on hassua puhua vektorista, kun ei ole varsinaisesti vielä olemassa vektoriavaruutta.

[QS]

Otetaan vähän helpompi. Kuvaus

\(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}\)

on lineaarinen. M on sileä monisto, jonka käyrä \(\gamma:\mathbb{R}\to M\). Lisäksi \(p\in M\) ja \(\gamma(\lambda)=p\), missä \(\lambda\) on käyräparametri. Oletetaan sileä funktio \(f:M\to\mathbb{R}\). Määritellään kuvaus

\(f\mapsto u_{\gamma,p}(f):=(f\circ\gamma)'(\lambda).\)

Minkä nimen antaisit \(u_{\gamma,p}\):lle ?

Heh, miten olisi nolla(vektori)?

Nimittäin, kun ensin luin tämän, niin tulkitsin asian niin, että tuo piste \(p\in M\) on kiinteä piste ja käyrä \(\gamma(\lambda)\equiv p\) kaikilla \(\lambda\in\mathbb{R}\), jolloin:

\((f\circ\gamma)(\lambda) = f(\gamma(\lambda)) =f(p)\)

ja siten \(f\mapsto u_{\gamma,p}(f)=(f\circ\gamma)'(\lambda)\equiv 0.\)

Jos tuossa tuo \(\gamma(\lambda)\) ei ole vakio, niin silloin se piirtää monistolle M käyrää ja tuo määritelmä vaikuttaisi sellaisenaan antavan jokaiseen käyrän pisteeseen eräänlaisen tangenttivektorin. Ei tuossa kai mitään väärää ole, mutta tuossa määritellään "tangenttivektori" kaikkiin käyrän pisteisiin.

Tavallaan olisi hyvä tarkastella käyrän kuvan yhtä pistettä \(p = \gamma(0)\) jolloin \(p(\gamma)\)olisi käyrä joka kulkee pisteen p kautta. Sitten tuota määritelmää \(u_{\gamma,p}\) voisi hieman muokata:

\(f\mapsto u_{\gamma,p}(f):=(f\circ\gamma)'(\lambda)|_{\lambda=0}.\)

Silloin tuo olisi tietyn määritelmän mukaan käyrän \(\gamma\) tangenttivektori pisteessä p.

 

No niin. Korjaan ensin alkuperäisessä kysymyksessä olleen typerän virheen. Sulla tuossa edellä virheeni on korjattukin, tai todettu nollavektoriksi ;D

Korjattuna:

======
Kuvaus

\(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}\)

on lineaarinen. M on sileä monisto, jonka eräs käyrä on \(\gamma:\mathbb{R}\to M\). Määritellään käyrä siten, että \(\gamma(0)=p\), missä \(p\in M\). Oletetaan lisäksi M:n sileä funktio \(f:M\to\mathbb{R}\). Määritellään kuvaus

\(f\mapsto u_{\gamma,p}(f):=(f\circ\gamma)'(0)\)

Minkä nimen antaisit \(u_{\gamma,p}\):lle?
=====

Tämän kutsuminen tangenttivektoriksi on varmaankin oikein, sillä löydän sen useastakin matematiikan lähteestä. Jos matemaatikko väittää, että se on tangenttivektori, niin olkoon. Mutta jupisen kuitenkin huonosta nimeämisestä

Nythän voi olla esimerkiksi niin, että \(M=\mathbb{R}^3\). Kuitenkin käyrän \(\gamma\) tangenttivektori \(u_{\gamma,p} \in \mathbb{R}^1\), mikä on vain 1-dimensioinen avaruus tai reaaliakseli, joka on toki vektoriavaruus sekin.

Tuo 'tangenttivektori' on jotenkin outo tässä kohti, kun käsite tavallaan sisältää ajatuksen 3-dimensioisen \(T_pM\):n vektorista.

Koen, että parempi nimitys \(u_{\gamma,p}\):lle on 'funktion f suunnattu derivaatta käyrän \(\gamma\) suuntaan', mikä on reaaliluku, joka ilmaisee f:n arvon muutoksen nopeuden, kun liikutaan käyrää \(\gamma\) pitkin.

Näistä otuksista voidaan tosiaan muodostaa pisteeseen \(p\in M\) joukko

\(T_pM := \{u_{\gamma,p}\ |\ \text{kaikki pisteen p kautta kulkevat sileät käyrät}\ \gamma \}\)

mikä on derivaattaoperaattorien joukko. \(T_pM\):n osoittaminen vektoriavaruudeksi vaatii kait jonkin verran työtä. Mutta sen jälkeen voidaan mielestäni perustellusti puhua derivaattaoperaattorista \(D_\gamma = u_{\gamma,p} \in T_pM\), joka on \(\gamma\):n suuntainen tangenttivektori pisteessä \(p\).

\(D_\gamma(f)\) on nyt f:n suunnattu derivaatta vektorin \(D_\gamma\) suuntaan.

Tämän jälkeen moniston osan \(U\subset M\) koordinaattikuvausta \((U,x)\) käyttämällä saadaan (jätän laskun pois, kun sekin kohtuu pitkä)

\(u_{\gamma,p} = \dot{\gamma}^i_x(0)\cdot \left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_p\)

missä \(\gamma_x\) tarkoittaa käyrän koordinaattiesitystä ja \(i\) on koordinaatti-indeksi. Tämä on derivaattaoperaattori esitettynä tangenttiavaruuden kantavektorijoukolla \(\{\partial_i\}\) pisteessä \(p\). Ja samalla varsin konkreettinen tangenttivektori.

Näin minä haluaisin tuon -vektori lisämääreen nähdä. On varmasti osin turhaa pilkunhalkomista, mutta sehän on elämän suola.

[QS]

Laitetaan tälläinen mystinen kaava:

\(\partial^2=0\)

Tuolle löytyy määritelmiä sekä fysiikasta ja matematiikasta. Eli oikeita vastauksia on enemmän kuin yksi.

Tekisi mieli sanoa, että \(\partial^2=0\) tarkoittaa differentiaaligeometriassa k-muotoon \(\omega\) kaksi kertaa kohdistettua ulkoista derivaattaa, mutta notaatio on yleensä \(d(d(\omega))=d^2=0\) eikä \(\partial^2=0\).

Topologiassa \(\partial S\) on joukon S reuna. Tarkoittaisi sitä, että reunan reuna tyhjä joukko eli \(\partial(\partial S)=0\).

ja sitten vielä yksi, jolla on myös sovelluksia fysiikassa ja matematiikassa (tälläkin on monia oikeita vastauksia)

\(\delta F = 0\).

Ainakin tämä voi olla funktionaalin F variaatio, joka tässä nolla. Haetaan stationaarista ratkaisua.

[Eusa]

Laitetaan tälläinen mystinen kaava:

\(\partial^2=0\)

Tuolle löytyy määritelmiä sekä fysiikasta ja matematiikasta. Eli oikeita vastauksia on enemmän kuin yksi.

Tekisi mieli sanoa, että \(\partial^2=0\) tarkoittaa differentiaaligeometriassa k-muotoon \(\omega\) kaksi kertaa kohdistettua ulkoista derivaattaa, mutta notaatio on yleensä \(d(d(\omega))=d^2=0\) eikä \(\partial^2=0\).

Topologiassa \(\partial S\) on joukon S reuna. Tarkoittaisi sitä, että reunan reuna tyhjä joukko eli \(\partial(\partial S)=0\).

Tuosta veikkailisin, että fysikaalisesti voisi olla kyseessä toisen asteen derivatiivisen operaattorin nilpotentti, esim. Laplacen operaattorin kohdistuminen harmoniseen funktioon. Matematiikan puolella vastaava meinaa, että funktio on lineaarinen.

Notaatiosta on kylläkin jätetty operaattorin kohde pois, mikä viittaisi, että kyse olisikin jostain sijoituksesta, tuloksesta tai observaabelin luonteesta...

[Disputator]

Laitetaan tälläinen mystinen kaava:

\(\partial^2=0\)

Tuolle löytyy määritelmiä sekä fysiikasta ja matematiikasta. Eli oikeita vastauksia on enemmän kuin yksi.

Tekisi mieli sanoa, että \(\partial^2=0\) tarkoittaa differentiaaligeometriassa k-muotoon \(\omega\) kaksi kertaa kohdistettua ulkoista derivaattaa, mutta notaatio on yleensä \(d(d(\omega))=d^2=0\) eikä \(\partial^2=0\).

Topologiassa \(\partial S\) on joukon S reuna. Tarkoittaisi sitä, että reunan reuna tyhjä joukko eli \(\partial(\partial S)=0\).

Yes, tätä haettiin eli reunan reuna on tyhjä joukko. Tämän totuudellisuus riippuu siitä, mitä reunalla sitten tarkoitetaankaan, mutta tätä vastausta olin hakemassa.

Yleisessä topologiassa tämä ei päde yleisen reunan määritelmän kanssa, mutta siisteimmissä esimerkeissä tämä on totta.

Algebrallisessa topologiassa on määritelty (hieman eri tavoin, teoriasta riippuen), taasen reunaoperaattori \(\partial\), joka toteuttaa ehdon \(\partial^2=0\), joka ei ole sama kuin topologinen määritelmä, mutta heijastelee läheisesti intuitiivista ideaa.

[Disputator]

======
Kuvaus

\(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}\)

on lineaarinen. M on sileä monisto, jonka eräs käyrä on \(\gamma:\mathbb{R}\to M\). Määritellään käyrä siten, että \(\gamma(0)=p\), missä \(p\in M\). Oletetaan lisäksi M:n sileä funktio \(f:M\to\mathbb{R}\). Määritellään kuvaus

\(f\mapsto u_{\gamma,p}(f):=(f\circ\gamma)'(0)\)

Minkä nimen antaisit \(u_{\gamma,p}\):lle?
=====

Tämän kutsuminen tangenttivektoriksi on varmaankin oikein, sillä löydän sen useastakin matematiikan lähteestä. Jos matemaatikko väittää, että se on tangenttivektori, niin olkoon. Mutta jupisen kuitenkin huonosta nimeämisestä

Aamupäivää! Nyt ei onnistunut taaskaan tuon ekan quoten yläpuolelle kirjoittaminen, vaikka olen tässä nyt code-moodissa tms. No, ei väliä.

Olet 100% oikeassa mielestäni tuosta nimeämisestä. Minunkin kirjat määrittelee suoraan tangenttivektorit derivaattaoperaattoreina ja vasta sen jälkeen todistaa, että kyseessä on tosiaankin vektoriavaruus jne.

Olen nyt tutkiskellut noita tangenttiavaruuden määritelmiä ja mulla on kaksi kirjaa, joissa se tehdään suht samalla tavalla käyttäen derivaattaoperaattorimääritelmää, siis \(D:C^\infty(M)\to\mathbb{R}\) tai jos merkitsee D:n sijasta \(u_p\), niin \(u_p:C^\infty(M)\to\mathbb{R}\). Tämä \(u_p\) ei ole määritelty pisteen p kulkevan käyrän avulla, vaan se on derivaattaoperaattori, joka operoi funktioihin \(f\in C^\infty(M)\) tai \(f\in C^\infty(U)\), missä U mikä tahansa on pisteen p ympäristö. (tämäkin pikku detalji tuo harmaita hiuksia päähän lisää).Olkoon tässä kuitenkin \(f\in C^\infty(M)\)

Derivaattaoperaattoreilta \(u_p\) (joiden lukumäärästä ei ole nyt tietoa tässä vaiheessa) vaaditaan aksiomaattisesti, että se toteuttaa pisteessä p, millä tahansa \(f,g\in C^\infty(M)\) ja millä tahansa \(a,b\in \mathbb{R}\) :

-\(\mathbb{R}\)-lineaarinen, siis \(u_p(a f + b g)= a u_p(f) + b u_p(g)\)
-toteuttaa tulosäännön \(u_p(fg)=(u_p f)g(p) + f(p) u_p(g)\)

Tarkastellaan polkujen avulla määrittelemääsi kuvausta \(f\mapsto u_{\gamma,p}(f):=(f\circ\gamma)'(0)\). Tämä\(u_{\gamma,p}\), joka on määritelty polun avulla,on myös derivaattaoperaattori ylläolevassa hengessä, ja toteuttaa ylläolevat vaatimukset.

Nythän voi olla esimerkiksi niin, että \(M=\mathbb{R}^3\). Kuitenkin käyrän \(\gamma\) tangenttivektori \(u_{\gamma,p} \in \mathbb{R}^1\), mikä on vain 1-dimensioinen avaruus tai reaaliakseli, joka on toki vektoriavaruus sekin.

Tuo 'tangenttivektori' on jotenkin outo tässä kohti, kun käsite tavallaan sisältää ajatuksen 3-dimensioisen \(T_pM\):n vektorista.

Nämä ovat oikein hyviä huomioita, tuo "tangenttivektori" \(u_{\gamma,p} \in \mathbb{R}^1\) kuuluu tosiaankin 1-ulotteiseen avaruuteen.

Koen, että parempi nimitys \(u_{\gamma,p}\):lle on 'funktion f suunnattu derivaatta käyrän \(\gamma\) suuntaan', mikä on reaaliluku, joka ilmaisee f:n arvon muutoksen nopeuden, kun liikutaan käyrää \(\gamma\) pitkin.

Näistä otuksista voidaan tosiaan muodostaa pisteeseen \(p\in M\) joukko

\(T_pM := \{u_{\gamma,p}\ |\ \text{kaikki pisteen p kautta kulkevat sileät käyrät}\ \gamma \}\)

mikä on derivaattaoperaattorien joukko. \(T_pM\):n osoittaminen vektoriavaruudeksi vaatii kait jonkin verran työtä.

Kyllä tämä on mielestäni ihan OK, ainakin nyt miten minä tuon ymmärrän. Oikeastaan nyt on vielä jäljellä se kriittinen kohta eli olisi osoitettava että \(T_pM
\) on tosiaankin vektoriavaruus eli kuinka esimerkiksi summata \(u_{\gamma,p}\) ja \(u_{\mu,p}\), missä \(\mu,\gamma\) polkuja ja \(\mu(0)=\gamma(0)=p\)? Niillä pitäisi olla olemassa jonkinlainen summa, koska niiden on tarkoitus esittää tangenttivektoreita. Periaatteessahan on lopulta oltava:

\(u_{\gamma,p}= \gamma'(0)\) ja \(u_{\mu,p}= \mu'(0)\) ja summan pitäisi olla \(u_{\gamma,p}+u_{\mu,p} = \gamma'(0)+\mu'(0)\)


Yksi tapa on määritellä summa annetulla f:

\((u_{\gamma,p}+u_{\mu,p})f:= u_{\gamma,p}f+u_{\mu,p}f\)

Hmm, vaikka tämä on ihan hyvä idea, niin tässä tulee hankaluutena se, että jos halutaan pitää notaatio konsistenttina on jotenkin konstruoitava sellainen polku \(\alpha\), jolle:

\(u_{\alpha,p} =u_{\gamma,p}+u_{\mu,p}\).

Tämä siis vastaisi haluttua \(\alpha'(0)=\gamma'(0)+\mu'(0)\). Menee kyllä nyt hankalaksi. Varmaan tuonkin voi tehdä, mutta luulen että helpompi tie on määritellä tangenttiavaruus hieman eri tavalla (a priori):

\(T_pM := \{u_{p}\ |\ \text{kaikki derivaattaoperaattorit }\ u_p \}\),

missä \(u_p\) on aikaisemmin määritelty derivointioperaatio, joka on lineaarinen ja toteuttaa tulosäännön. Tämä notaatio voi olla hämäävä, nyt siis kaikki \(u_p, v_p,...\) viittaavat derivointioperaattoreihin

Nyt summan määrittely on helpompaa, koska määritelmästä puuttuu ne polut:

\((u_p + v_p)f:= u_p f+ v_p f\)

skalaarilla kertominen menee samalla tavalla, jos \(a\in\mathbb{R}\), niin määritellään:

\((au_p)(f) := a u_p(f)
\)

Tuo poluista luopuminen teki ainakin tuon \(T_pM\):n vektoriavaruusrakenteen todistamisen helpommaksi. Mutta ei polut ole hyödyttömiä,itse asiassa pätee sellainen että jokainen derivointioperaatio \(u_p\) vastaa yksikäsitteisesti jotain polun avulla määriteltyä (kuten sinun määritelmässäsi) \( u_{\gamma,p} \).

Heh, siis polun \(\gamma\) ekvivalenssiluokkaa \([\gamma]\), jossa kaksi polkua \(\gamma_1\) ja \(\gamma_2\) samaistetaan, jos \(\gamma_1(0)=\gamma_2(0)=p\) ja niillä on sama tangenttivektori, siis

\(u_p\Leftrightarrow u_{[\gamma],p}\)

Huoh, olen joskus aikoinani kyllä näitä opiskellut ja nyt jouduin kyllä kertaamaan aika intensiivisesti ja jutuissani voi olla virheitä siellä täällä.

[Eusa]

\(\delta F = 0\).

Tulee mieleen Hamiltonin periaate ja pienimmän vaikutuksen optimi, joka johtaa Euler-Lagrangen yhtälöön $$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0$$